專題9 平面向量及應用
1、如圖，在平行四邊形abcd中，下列結論中錯誤的是 （）
（ab）＋＝；
（cd）＋＝．
2、若與都是非零向量，則「」是「」的（ ）
（a）充分而不必要條件b）必要而不充分條件
（c）充分必要條件d）既不充分也不必要條件
3、已知三點，其中為常數.若，則與的夾角為（ ）
（ab）或
（cd）或
4、已知向量，，則的最大值為__．
5、設向量，，滿足，，，若｜｜=1,則
｜｜+｜｜的值是 .
6、設函式，其中向量，，，。
（ⅰ）、求函式的最大值和最小正週期；
（ⅱ）、將函式的影象按向量平移，使平移後得到的影象關於座標原點成中心對稱，求長度最小的。
【例1】出下列命題：①若，則；
②若a、b、c、d是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件； ③若，則； ④的充要條件是且∥；
⑤若∥，∥，則∥。 其中，正確命題材的序號是
【例2】平面內給定三個向量：。回答下列問題：
（1）求； （2）求滿足的實數m和n ；
（3）若∥，求實數k；
（4）設滿足∥且，求
【範例3】已知射線oa、ob的方程分別為，，動點m、n分別在oa、ob上滑動，且。
（1）若，求p點的軌跡c的方程；
（2）已知，，請問在曲線c上是否存在動點p滿足條件，若存在，求出p點的座標，若不存在，請說明理由。
【文】設向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈r，函式f(x)＝a·(a＋b).
（ⅰ）求函式f(x)的最大值與最小正週期；
（ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
【範例4】已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．
（i） 求點（x，y）的軌跡c的方程；
（ii） 若直線l： y=kx+m (m0)與曲線c交於a、b兩點，d（0，–1），且有|ad|=|bd|，試求m的取值範圍．
【文】在平面直角座標系中，o為座標原點，已知點，，若點c滿足，點c的軌跡與拋物線交於a、b兩點；
（1）求點c的軌跡方程；
（2）求證：；
（3）在x軸正半軸上是否存在一定點，使得過點p的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.
★★★自我提公升
1．如圖1所示，是的邊上的中點，則向量（ ）
a. b. c. d.
2．已知向量，是不平行於軸的單位向量，且，則（）
a．（） b．（） c．（） d．（）
3.的三內角所對邊的長分別為設向量,
,若,則角的大小為（ ）
a. bcd.
4．已知,且關於的方程有實根,則與的夾角的取值範圍是
a.[0bc. d.
5．若三點共線，則的值等於
6．已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那麼a+b與a-b的夾角的大小是
7．已知，與垂直，與的夾角為，且，，求實數的值及與的夾角．
8．已知定點，動點在軸上運動，過點作交軸於點，並延長到點，且．
（ⅰ）求點的軌跡；
（ⅱ）直線與的軌跡交於兩點，若，且，求直線的斜率的取值範圍．
【文】（ⅰ）求m()的軌跡c；
(ⅱ)過點（0，3）作直線與曲線交於a,b兩點，，是否存在直線使oapb為矩形．
1. c
2. c
3. d
4. 5. 4
6. (ⅰ)由題意得=(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值為2+，最小正週期是＝.
（ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k，即x＝,k∈z，
於是d＝（，－2），k∈z.
因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時d＝（―，―2）即為所求.
【例1】
解析：①不正確性。兩個向量長度相同，但它的方向不一定相同。
②正確。∵且，又a、b、c、d為不共線的四點，
∴ 四邊形abcd為平行四邊形；反之，若四邊形為平行四邊形，
則，因此。
③正確。∵，∴、的長度相等且方向相同，又=，
∴、的長度相等且方向相同，∴、的長度相等且方向相同，故。
④不正確。當∥且方向相同，即使，也不能得到。
⑤不正確。考慮這種極端情況。
答案：②③。
【例2】解：（1）依題意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）
（2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）
∴ 解之得
（3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2）
∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴；
（4）∵=（x-4，y-1），=（2，4）， 又∵∥且，
∴解之得或
∴=（，）或=（，）
【例3】解：（1）設，，
則，，所以，即。
又因為，所以，代入得：。
（2），所以，
因為，所以，得，
又，聯立得，因為，所以不存在這樣的p點。
【點晴】本題是一道綜合題，重在考查向量的概念及軌跡方程的求法。
【例4】解:（i）+=（x,0）+ (1,y)=(x+, y),
–=（x, 0） (1,y)= (x,–y)
0 (x+)( x)+y·(y)=0,
故p點的軌跡方程為．
（ii）考慮方程組消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)
顯然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.
設x1,x2為方程*的兩根，則x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=,
故ab中點m的座標為（，）,
線段ab的垂直平分線方程為y=（）,
將d（0，–1）座標代入，化簡得 4m=3k21,
故m、k滿足消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4.
又4m=3k21>1, 故m (,0) (4,+)．
【點睛】本題用向量語言來表達平面幾何問題，是亮點。
【例4】文
解：（1）設，由知，點c的軌跡為.
（2）由消y得：
設，，則，,
所以，所以，於是
（3）假設存在過點p的弦ef符合題意，則此弦的斜率不為零，設此弦所在直線的方程為,由消x得：，設，，
則，.因為過點p作拋物線的弦的長度是原點到弦的中點距離的2倍，所以即,所以得，所以存在.
★★★自我提公升
1. a
2. b
3. b
4. b
5. 6.
7.解：設，，則；
；；．解得，或，對應的分別為，或，
分別代入，解得；
8.解：（1）設，則
，又，即為的中點，
因此，的軌跡方程為：，其軌跡為以為焦點的拋物線.
（2）設，與聯立得：
設，則是（*）式的兩根，且
由得：，即
.因此，直線方程可寫為：
（*）式可化為：
而即：令，解得
文:解：（ⅰ）
設，則因此，點的軌跡是以為焦點，長軸長為8的橢圓，其方程為
（ⅱ）假設存在這樣的直線，使得為矩形，並設
與橢圓方程聯立得：
設，則是（*）的兩根，
且因為為矩形，故
則， 由此可得：
解得：因此，當直線的斜率為時，可使為矩形．
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