2.1 平面向量的實際背景及基本概念
1. 向量：既有大小又有方向的量。
2. 向量的模：向量的大小即向量的模（長度），如的模分別記作||和。
注：向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。
3. 幾類特殊向量
(1)零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行，
零向量＝｜｜＝0。由於的方向是任意的，且規定平行於任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有「非零向量」這個條件。（注意與0的區別）
(2)單位向量：模為1個單位長度的向量，向量為單位向量。將乙個向量除以它的模即得到單位向量，如的單位向量為：
(3)平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量,稱為平行向量.記作∥。
規定：與任何向量平等，
任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由於向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。
數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的「共線」與幾何中的「共線」、的含義，要理解好平行向量中的「平行」與幾何中的「平行」是不一樣的。
（4）相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。記作。
關於相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量若、是互為相反向量，則=,=,+=。
（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量。記為。相等向量經過平移後總可以重合。
2.2 平面向量的線性運算
1.向量加法
（1）定義：求兩個向量和的運算叫做向量的加法
設，則+==。
規定：；
（2）向量加法的法則—「三角形法則」與「平行四邊形法則」
1 用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線。
2 三角形法則的特點是「首尾相接」，由第乙個向量的起點指向最後乙個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和。
注：當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連線時，用三角形法則。
向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須「首尾相連」。
（3）向量加法的運算律：
①交換律： ②結合律：
2.法向量的減
（1） 定義：若則向量叫做與的差，記為。求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。
（2） 向量減法的法則—「三角形法則」與「平行四邊形法則」
1 三角形法則：當有共同起點時，表示為從減向量的終點指向被減向量的終點的向量。
2 平行四邊形法則：兩個已知向量是要共始點的，差向量是如圖所示的對角線。設則-=.
3.實數與向量的積
（1） 定義：實數λ與向量的積是乙個向量，記作，它的長度與方向規定如下：
1 ；2 當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。
（2） 數乘向量的運算律
1 ；②；③。
2.3 平面向量的基本定理及座標表示
1.平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使=λ1+λ2.
注意：(1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；
(2) 基底不惟一，關鍵是不共線；
2.向量的夾角:已知兩個非零向量、，作，，則∠aob＝，叫向量、的夾角，當=0°，、同向，當=180°，、反向，當=90°，與垂直，記作⊥。
3.平面向量的座標表示：在直角座標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底，由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由於與數對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的座標，記作=(x,y)，其中x叫作的橫座標，y叫做作縱座標。
規定：① ，
② 相等的向量座標相同，座標相同的向量是相等的向量；
③ 向量的座標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關,只與其相對位置有關
4.平面向量的座標運算：
①若，則；
②若，則；
③若=(x,y)，則=(x, y)；
④若，則；
⑤若， 則
附：向量的表示方法：
1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在後；
4. 2．符號表示法：用乙個小寫的英文本母來表示，如，，等；
5. 3．座標表示法：在平面內建立直角座標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的座標，＝叫做向量的座標表示。
如果向量的起點在原點，那麼向量的座標與向量的終點座標相同。
加法：減法：
2.4 平面向量的數量積
（1） 平面向量的數量積的定義
1 向量，的夾角：已知兩個非零向量，過o點作， 則∠aob=θ（00≤θ≤1800）叫做向量，的夾角。當且僅當兩個非零向量同方向時，θ=00，當且僅當反方向時θ=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。
2 垂直；如果的夾角為900則稱垂直，記作。
3 的數量積：兩個非零向量，它們的夾角為θ，則叫做稱的數量積（或內積），記作，即=，規定=0 非零向量當且僅當時，θ=900，這時=0。
④在方向上的投影：（注意是射影）所以，的幾何意義：等於的長度與在方向上的投影的乘積。
（2） 平面向量數量積的性質
設是兩個非零向量，是單位向量，於是有：①；②；
③當同向時，；當反向時，，特別地，。
④；⑤(3)平面向量數量積的運算律
①交換律成立對實數的結合律成立：
③分配律成立：
特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0
④但是乘法公式成立：；
（3） 平面向量數量積的座標表示
1 若=(x1,y1), =(x2,y2)則=x1x2+y1y2
2 若=(x,y),則||=.=x2+y2,
3 若a(x1,y1),b(x2,y2),則
4 若=(x1,y1), =(x2,y2)則（注意與時條件區別， ）
若=(x1,y1), =(x2,y2)則
2.5 平面向量應用列舉
1、 線段的定比分點
（1）定義：設p1,p2是直線l上的兩點，點p是l上不同於p1,p2的任意一點，則存在乙個實數，使，
叫做點p分有向線段所成的比。當點p**段上時，；當點p**段或的延長線上時， <0
（2）定比分點的座標形式
,其中p1(x1,y1), p2(x2,y2), p (x,y)，向量形式呢？
（3）中點座標公式
當=1時，分點p為線段的中點，即有，向量形式呢？
2、平移
（1）圖形平移的定義：設f是座標平面內的乙個圖形，將圖上的所有點按照同一方向移動同樣長度，得到圖形f』，我們把這一過程叫做圖形的平移。
（2）平移公式設p(x,y)是圖形f上任意一點，它在平移後圖形上的對應點p』(x』,y』』)，且的座標為(h,k)，則有，這個公式叫做點的平移公式，它反映了圖形中的每一點在平移後的新座標與原座標間的關係。
必修4知識點總結第二章平面向量
高中數學必修4知識點總結 第二章平面向量 16 向量 既有大小，又有方向的量 數量 只有大小，沒有方向的量 有向線段的三要素 起點 方向 長度 零向量 長度為的向量 單位向量 長度等於個單位的向量 平行向量 共線向量 方向相同或相反的非零向量 零向量與任一向量平行 相等向量 長度相等且方向相同的向量...
必修四第二章平面向量知識要點
1 向量的有關概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量叫做向量。向量常用有向線段來表示。2 單位向量 長度為乙個單位長度的向量叫做單位向量 與共線的單位向量是 3 相等向量 長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性 4 平行向量 也叫共線向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。...
必修4第二章平面向量測試題
平面向量 測試題 一 單項選擇題 2 下列命題中 若a與b互為負向量，則a b 0 若k為實數，且k a 0，則a 0或k 0 若a b 0，則a 0或b 0 若a與b為平行的向量，則a b a b 若 a 1，則a 1 其中假命題的個數為 a 5個 b 4個 c 3個 d 2個 設 a 1，b 2...