本試卷分第ⅰ卷(選擇題)和第ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘．
第ⅰ卷(選擇題共60分)
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，則x的值是( )
a．－6 b．6 c．9 d．12
2．下列命題正確的是( )
a．單位向量都相等
b．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線
c．若|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0
d．若a與b都是單位向量，則a·b＝1.
3．設向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a與b的夾角大於90°，則實數m的取值範圍是( )
a．(－，2)
b．(－∞，－)∪(2，＋∞)
c．(－2，)
d．(－∞，2)∪(，＋∞)
4．平行四邊形abcd中，ac為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則·等於( )
a．8 b．6 c．－8 d．－6
5．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與向量b的夾角是( )
a. b. c. d.
6．關於平面向量a，b，c，有下列四個命題：
①若a∥b，a≠0，則存在λ∈r，使得b＝λa；
②若a·b＝0，則a＝0或b＝0；
③存在不全為零的實數λ，μ使得c＝λa＋μb；
④若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)．
其中正確的命題是( )
abcd．②④
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，則向量a在向量b上的投影等於( )
a．－4 b．4 cd.
8．設o，a，m，b為平面上四點，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，則( )
a．點m**段ab上
b．點b**段am上
c．點a**段bm上
d．o，a，b，m四點共線
9．p是△abc內的一點，＝(＋)，則△abc的面積與△abp的面積之比為( )
a. b．2 c．3 d．6
10．在△abc中，＝2，＝2，若＝m＋n，則m＋n等於( )
a. b. c. d．1
11．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·(b＋c)等於( )
abc．0 d.
12．定義平面向量之間的一種運算「⊙」如下：對任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說法錯誤的是( )
a．若a與b共線，則a⊙b＝0
b．a⊙b＝b⊙a
c．對任意的λ∈r，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)
d．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2
第ⅱ卷(非選擇題共90分)
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)
13．設向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則
14．a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b
15．已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，)，直線l過點a(3，－1)，且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為________．
16．已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，設m是直線op上任意一點(o為座標原點)，則·的最小值為________．
三、解答題(本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)如圖所示，以向量＝a，＝b為邊作aobd，又＝，＝，用a，b表示、、.
18．(本小題滿分12分)已知a，b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，
求：(1)(a－2b)·(a＋b)；
(2)|a＋b|；
(3)|3a－4b|.
19．(本小題滿分12分)已知a＝(，－1)，b＝，且存在實數k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求的最小值．
20．(本小題滿分12分)設＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．**段oc上是否存在點m，使ma⊥mb？若存在，求出點m的座標；若不存在，請說明理由．
21．(本小題滿分12分)設兩個向量e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數t的取值範圍．
22．(本小題滿分12分)已知線段pq過△oab的重心g，且p、q分別在oa、ob上，設＝a，＝b，＝ma，＝nb.
求證：＋＝3.
必修4第二章《平面向量》單元檢測題參***
【第1題解析】∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.故選b .
【第2題解析】∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.故選c .
【第3題解析】∵a與b的夾角大於90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m2－2m－8<0，∴－【第7題解析】向量a在向量b上的投影為|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝－＝－4.故選a .
【第8題解析】∵＝λ＋(11,2)，∴點b**段am上，故選b.
【第9題解析】設△abc邊bc的中點為d，則3.故選c .
【第10題解析故有m＋n＝＋＝.故選b .
【第11題解析】由已知得4b＝－3a－5c，將等式兩邊平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化簡得a·c＝－.同理由5c＝－3a－4b兩邊平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.故選b.
【第12題解析】若a＝(m，n)與b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運算「⊙」知a⊙b＝0，故a正確．由於a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故b不正確．對於c，由於λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故c正確．對於d，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故d正確．故選b .
【第13題解析】∵a＝(1,2)，b＝(2,3)， ∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0. ∴λ＝2. 故填2 .
【第16題解析】設＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故當t＝2時，·取得最小值－8. 故填－8.
【第17題答案】＝a＋b，＝a＋b，＝a－b.
【第17題解析】＝－＝a－b.∴＝＋＝＋＝＋＝a＋b.
又＝a＋b.＝＋＝＋＝＝a＋b，∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b.
【第18題答案】（1）12；（2）2；（3）4.
【第18題解析】a·b＝|a||b|cos 120°＝4×2×＝－4.
(1)(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12.
(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12.
∴|a＋b|＝2.
(3)|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，
∴|3a－4b|＝4.
【第19題答案】－.
【第19題解析】由題意有|a|＝＝2，|b|＝＝1.
∵a·b＝×－1×＝0，∴a⊥b.
∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化簡得k＝.
∴＝(t2＋4t－3)＝(t＋2)2－.即t＝－2時，有最小值為－.
【第20題答案】存在點m，m點的座標為(2,1)或.
【第21題解析】由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，
得<0，
即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
整理得：2te＋(2t2＋7)e1·e2＋7te<0.(*)
∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.
∴e1·e2＝2×1×cos 60°＝1
∴(*)式化簡得：2t2＋15t＋7<0.解得：－7當向量2te1＋7e2與e1＋te2夾角為180°時，設2te1＋7e2＝λ(e1＋te2) (λ<0)．
對比係數得，∴
∴所求實數t的取值範圍是∪.
【第22題答案】＋＝3.
【第22題解析】
證明如右圖所示，
∵＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝＝(a＋b)．
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