例1直線l經過p（2,3）,且在x,y軸上的截距相等,試求該直線方程.
解：設直線方程為:,又過p(2,3),∴,求得a=5
直線方程為x+y-5=0.
直線方程的截距式: 的條件是:≠0且b≠0,
當直線過(0,0)時,此時斜率為:,∴直線方程為y=x
綜上可得:所求直線方程為x+y-5=0或y=x .
例2已知動點p到y軸的距離的3倍等於它到點a(1,3)的距離的平方,求動點p的軌跡方程.
解：設動點p座標為(x,y).由已知3
化簡3=x2-2x+1+y2-6y+9 .
當x≥0時得x2-5x+y2-6y+10=0 . ①
當x＜0時得x2+ x+y2-6y+10=0 . ②
配方後得(x-)2+(y-3)2和 (x+)2+(y-3)2 = - ②
兩個平方數之和不可能為負數,故方程②的情況不會出現.
故所求動點p的軌跡方程為: (x-)2+(y-3)2 = (x≥0)
例3m是什麼數時，關於x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的圖象表示乙個圓？
解： 欲使方程ax2+cy2+f=0表示乙個圓，只要a=c≠0，
得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，
∴當m=1或m=-3時，x2和y2項的係數相等，這時，原方程的圖象表示乙個圓
當m=1時，方程為2x2+2y2=-3不合題意，捨去.
例4求過直線和圓的交點，且滿足下列條件之一的圓的方程：
（1） 過原點；（2）有最小面積.
解：設所求圓的方程是：
即：（1）因為圓過原點，所以，即
故所求圓的方程為：.
（2） 將圓系方程化為標準式，有：
當其半徑最小時，圓的面積最小，此時為所求.
故滿足條件的圓的方程是.
點評：（1）直線和圓相交問題，這裡應用了曲線系方程，這種解法比較方便；當然也可以待定係數法。（2）面積最小時即圓半徑最小。也可用幾何意義，即直線與相交弦為直徑時圓面積最小.
例題5 求過點（2，1）且與兩座標所圍成的三角形面積為4的直線方程。
解：設所求直線方程為。
∵（2，1）在直線上
直線與兩座標軸所圍成的三角形面積為，
故所求直線方程應為：
x + 2 y = 4，或（+1）x - 2（-1）y – 4 = 0，或（- 1）x - 2（+1）y +4 = 0。
例題6 求過點a（-4，2）且與x軸的交點到（1，0）的距離是5的直線方程。
解：設直線斜率為k，其方程為y – 2 = k（x + 4），則與x軸的交點為（-4-，0），
∴，解得k = -。故所求直線的方程為x + 5y – 6 = 0 。
斜率不存在的情況，即經過a且垂直於x軸的直線， x = - 4也符合題意。
例題7 已知圓的方程為x2 + y2 + ax + 2y + a2 = 0 ，一定點為a（1，2），要使過a點作圓的切線有兩條，求a的取值範圍。
錯解：將圓的方程配方得： ( x +)2 + ( y + 1 )2 =。
∵其圓心座標為c（－，－1），半徑r ＝。
當點a在圓外時，過點a可作圓的兩條切線，則＞ r 。
即＞。即a2 + a + 9 ＞ 0，
由a2 + a + 9 ＞ 0及4 – 3 a2 ＞ 0可得a的取值範圍是（）。
例題8 已知直線l：y = x + b與曲線c：y =有兩個公共點，求實線b的取值範圍。
錯解：由消去x得：2y2 - 2by + b2 – 1 = 0
∵ l與曲線c有兩個公共點， ∴ = 4b2 – 8 ( b2 －1 ) > 0，解得－＜b＜
剖析：上述解法忽視了方程y =中y ≥ 0 ，－ 1 ≤ x ≤ 1這一限制條件，得出了錯誤的結論。
事實上，曲線c和直線l有兩個公共點等價於方程（*）有兩個不等的非負實根。
解得1≤ b ≤。
例題9 等腰三角形頂點是a（4，2），底邊的乙個端點是b（3，5），求另乙個端點c的軌跡方程。
錯解：設另乙個端點的座標為（ x ，y ），依題意有：
=，即： =
∴ （x - 4）2 + (y - 2) 2 = 10即為c點的軌跡方程。
這是以a（4，2）為圓心、以為半徑的圓。
因為a、b、c三點為三角形三個頂點，所以a、b、c三點不共線，即b、c不能重合，且不能為圓a一直徑的兩個端點，
事實上，c點的座標須滿足，且，
故端點c的軌跡方程應為（x - 4）2 + ( y-2 )2 = 10 ( x3,y5；x5,y－1)。
它表示以（4，2）為圓心，以為半徑的圓，除去（3，5）（5，-1）兩點。
例題10 求z = 3 x + 5 y的最大值和最小值，使式中的x ，y滿足約束條件：
解：作出可行域如圖1所示，過原點作直線l0：3 x + 5 y = 0 。
事實上，過原點作直線l0：3x + 5y = 0，由於使z = 3x + 5y ＞ 0的區域為直線l0的
右上方，而使z = 3x + 5y ＜ 0的區域為l0的
左下方。由圖知：z = 3x + 5y應在a點取得最大值，在c點取得最小值。
解方程組，得c（－2，－1）。
∴ z最小＝3（－2）＋5（－1）= －11。
平面解析幾何初步
第四章直線和圓的方程 一 知識導學 1 兩點間的距離公式 不論a 1，1 b 2，2 在座標平面上什麼位置，都有d ab 特別地，與座標軸平行的線段的長 ab 2 1 或 ab 2 1 2 直線的傾斜角和斜率的關係 1 每一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率.2 斜率存在的直線，其斜率與傾斜角 之間的...
平面解析幾何初步知識點
一 直線的概念與方程 1.直線的傾斜角 在直角座標系中，對於一條與x軸相交的直線l，把x軸 正方向 按 方向繞著交點旋轉到所成的角，叫做直線l的傾斜角。當直線l和x軸平行時，它的傾斜角為0o.傾斜角通常用 表示，傾斜角 的範圍是 2.直線的斜率 傾斜角的 值叫做直線的斜率。通常用字母k來表示，即 當...
解析幾何初步小結
使用說明 1.用20分鐘左右的時間，閱讀 課本的基礎知識，自主高效複習，提公升自己的理解能力 2.結合課本內容完成基礎知識填空，及自測練習。學習目標 1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。2.掌握由直線上一點和斜率匯出直線方程的方法 並掌握直線方程的點斜式 兩點式 一般式...