平面向量：
1. 已知向量a＝(1,2)，b＝(2,0)，若向量λa＋b與向量c＝(1，－2)共線，則實數λ等於( )
a．－2b．－
c．－1 d．－
[答案] c
[解析] λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，
∵λa＋b與c共線，
∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1.
2. (文)已知向量a＝(，1)，b＝(0,1)，c＝(k，)，若a＋2b與c垂直，則k＝( )
a．－1 b．－
c．－3 d．1
[答案] c
[解析] a＋2b＝(，1)＋(0,2)＝(，3)，
∵a＋2b與c垂直，∴(a＋2b)·c＝k＋3＝0，
∴k＝－3.
(理)已知a＝(1,2)，b＝(3，－1)，且a＋b與a－λb互相垂直，則實數λ的值為( )
a．－ b．－
c. d.
[答案] c
[解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，
∵a＋b與a－λb垂直，
∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝.
3. 設非零向量a、b、c滿足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，則向量a、b間的夾角為( )
a．150° b．120°
c．60° d．30°
[答案] b
[解析] 如圖，在abcd中，
∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△abd為正三角形，
∴∠bad＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故選b.
(理)向量a，b滿足|a|＝1，|a－b|＝，a與b的夾角為60°，則|b|＝( )
a. b.
c. d.
[答案] a
[解析] ∵|a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝，
∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°，
設|b|＝x，則1＋x2－x＝，∵x>0，∴x＝.
4. 若·＋2＝0，則△abc必定是( )
a．銳角三角形 b．直角三角形
c．鈍角三角形 d．等腰直角三角形
[答案] b
[解析] ·＋2＝·(＋)＝·＝0，∴⊥，
∴ab⊥ac，∴△abc為直角三角形．
5. (文)若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－2,4)，則用a，b表示c為( )
a．－a＋3b b．a－3b
c．3a－b d．－3a＋b
[答案] b
[解析] 設c＝λa＋μb，則(－2,4
∴，∴，∴c＝a－3b，故選b.
(理)在平行四邊形abcd中，ac與bd交於o，e是線段od的中點，ae的延長線與cd交於點f，若＝a，＝b，則等於( )
a. a＋b b. a＋b
c. a＋b d. a＋b
[答案] b
[解析] ∵e為od的中點，∴＝3，
∵df∥ab，∴＝，
∴|df|＝|ab|，∴|cf|＝|ab|＝|cd|，
∴＝＋＝＋＝a＋(－)
＝a＋(b－a)＝a＋b.
6. 若△abc的三邊長分別為ab＝7，bc＝5，ca＝6，則·的值為( )
a．19 b．14
c．－18 d．－19
[答案] d
[解析] 據已知得cosb＝＝，故cosb)＝7×5×＝－19.
7. 若向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)相互垂直，則9x＋3y的最小值為( )
a．12 b．2
c．3 d．6
[答案] d
[解析] a·b＝4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝6，等號在x＝，y＝1時成立．
8. 若a，b，c是直線l上不同的三個點，若o不在l上，存在實數x使得x2＋x＋＝0，實數x為( )
a．－1 b．0
c. d.
[答案] a
[解析] x2＋x＋－＝0，∴x2＋(x－1)＋＝0，由向量共線的充要條件及a、b、c共線知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，當x＝0時，＝0，與條件矛盾，∴x＝－1.
9. (文)已知p是邊長為2的正△abc邊bc上的動點，則·(＋)( )
a．最大值為8 b．最小值為2
c．是定值6 d．與p的位置有關
[答案] c
[解析] 以bc的中點o為原點，直線bc為x軸建立如圖座標系，則b(－1,0)，c(1,0)，a(0，)，＋＝(－1，－)＋(1，－)＝(0，－2)，
設p(x,0)，－1≤x≤1，則＝(x，－)，
∴·(＋)＝(x，－)·(0，－2)＝6，故選c.
(理)在△abc中，d為bc邊中點，若∠a＝120°，·＝－1，則||的最小值是( )
a. b.
c. d.
[答案] d
[解析] ∵∠a＝120°，·＝－1，
∴||·||·cos120°＝－1，
∴||·||＝2，
∴||2＋||2≥2||·||＝4，
∵d為bc邊的中點2＝(||2＋||2＋2·)＝(||2＋||2－2)≥(4－2)＝，
∴||≥.
10. 如圖所示，點p是函式y＝2sin(ωx＋φ)(x∈r，ω>0)的圖象的最高點，m，n是該圖象與x軸的交點，若·＝0，則ω的值為( )
a. b.
c．4 d．8
[答案] b
[解析] ∵·＝0，∴pm⊥pn，又p為函式圖象的最高點，m、n是該圖象與x軸的交點，∴pm＝pn，yp＝2，∴mn＝4，∴t＝＝8，∴ω＝.
11. 如圖，一直線ef與平行四邊形abcd的兩邊ab，ad分別交於e、f兩點，且交其對角線於k，其中＝，＝，＝λ，則λ的值為( )
a. b.
c. d.
[答案] a
[解析] 如圖，取cd的三等分點m、n，bc的中點q，則ef∥dg∥bm∥nq，易知＝，∴λ＝.
12. 已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋4b與a－2b共線，則m的值為( )
ab．2
c．－2 d．－
[答案] c
[解析] ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，a－2b＝(4，－1)，
由條件知(2m－4)·(－1)－(3m＋8)×4＝0，
∴m＝－2，故選c.
13. 在△abc中，c＝90°，且ca＝cb＝3，點m滿足＝2，則·等於( )
a．2 b．3
c．4 d．6
[答案] b
[解析] ·
＝(＋)·
＝(＋)·
＝·＋·
＝||·||·cos45°
＝×3×3×＝3.
14. 在正三角形abc中，d是bc上的點，ab＝3，bd＝1，則
[答案]
[解析] 由條件知3，〈，〉＝60°，〈，〉＝60°，＝，
3×3×cos60°＋×3×3×cos60°＝.
15. 已知向量a＝(3,4)，b＝(－2,1)，則a在b方向上的投影等於________．
[答案] －
[解析] a在b方向上的投影為＝＝－.
16. 已知向量a與b的夾角為，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，則實數
[答案] 1
[解析] ∵〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝4，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1×4×cos＝－2，∵(2a＋λb)⊥a，∴a·(2a＋λb)＝2|a|2＋λa·b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.
17. 已知：||＝1，||＝，·＝0，點c在∠aob內，且∠aoc＝30°，設＝m＋n (m，n∈r＋)，則
[答案] 3
[解析] 設m＝，n＝，則＝＋，
∵∠aoc＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，
||·sin30°＝||＝n||＝n，
兩式相除得：＝＝＝，∴＝3.
18. (文)設i、j是平面直角座標系(座標原點為o)內分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，則△oab的面積等於________．
[答案] 5
[解析] 由條件知，i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴·＝(－2i＋j)·(4i＋3j)＝－8＋3＝－5，又·＝||·||·cos〈，〉＝5cos〈，〉，
∴cos〈，〉＝－，∴sin〈，〉＝，
∴s△oab＝||·||·sin〈，〉＝××5×＝5.
(理)三角形abc中，a，b，c分別是角a，b，c所對的邊，能得出三角形abc一定是銳角三角形的條件是________(只寫序號)
①sina＋cosa＝ ②·<0 ③b＝3，c＝3，b＝30° ④tana＋tanb＋tanc>0.
[答案] ④
[解析] 若a為銳角，則sina＋cosa>1，∵sina＋cosa＝，∴a為鈍角，∵·<0，∴·>0，∴∠b為銳角，由∠b為銳角得不出△abc為銳角三角形；由正弦定理＝得，＝，∴sinc＝，∴c＝60°或120°，∵c·sinb＝，3<<3，∴△abc有兩解，故①②③都不能得出△abc為銳角三角形．
④由tana＋tanb＋tanc＝tan(a＋b)(1－tanatanb)＋tanc＝－tanc(1－tanatanb)＋tanc＝tanatanbtanc>0，及a、b、c∈(0，π)，a＋b＋c＝π知a、b、c均為銳角，
∴△abc為銳角三角形．
19. 已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)．
(1)若a⊥b，求x的值．
(2)若a∥b，求|a－b|.
[解析] (1)若a⊥b，
則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
則x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2，
當x＝0時，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
∴|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|
＝＝2，
當x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
∴|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|
＝＝2.
20. 已知向量a＝(sinx，－1)，b＝(cosx，－)，函式f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函式f(x)的最小正週期t；
(2)將函式f(x)的圖象向左平移上個單位後，再將所得圖象上所有點的橫座標伸長為原來的3倍，得到函式g(x)的圖象，求函式g(x)的解析式及其對稱中心座標．
[解析] (1)f(x)＝(a＋b)·a－2＝a2＋a·b－2
＝sin2x＋1＋sinxcosx＋－2
＝＋sin2x－＝sin2x－cos2x
＝sin(2x－)，
∴週期t＝＝π.
(2)向左平移個單位得，y＝sin[2(x＋)－]
＝sin(2x＋)，橫座標伸長為原來的3倍得，
g(x)＝sin(x＋)，
令x＋＝kπ得對稱中心為(－，0)，k∈z.
21. (文)三角形的三個內角a、b、c所對邊的長分別為a、b、c，設向量m＝(c－a，b－a)，n＝(a＋b，c)，若m∥n.
(1)求角b的大小；
(2)若sina＋sinc的取值範圍．
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