平面向量知識點
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一向量的概念與線性運算
1．平面向量的有關概念：
（1）向量的定義：既________的量叫做向量.
（2）表示方法：用有向線段來表示向量.有向線段的_______表示向量的大小，用_____箭頭所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.
特別提醒：
1) 模：向量的長度叫向量的模，記作|a|或||.
2) 零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0；零向量的方向不確定.
3) 單位向量：長度為1個長度單位的向量叫做單位向量.
4) 共線向量：方向相同或相反的向量叫共線向量，規定零向量與任何向量共線.
5) 相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等的向量.
2．向量的線性運算
1.向量的加法與減法：
加法法則
減法法則
3.實數與向量的積：
（1）定義：實數λ與向量a的積是乙個向量，記作λa，規定：|λa|=|λ||a|.
當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0.
2）運算律：
特別提醒：
1) 向量的加、減及其與實數的積的結果仍是向量。
2) 重要定理：
向量共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有乙個實數λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.
反饋練習
1.出下列命題：①若，則；②若a、b、c、d是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；③若，則；④的充要條件是且；⑤若，，則。其中，正確命題材的序號是————
2.判斷下列各命題是否正確
(1)零向量沒有方向 (2)若 (3)單位向量都相等 (4) 向量就是有向線段5)兩相等向量若共起點,則終點也相同 (6)若，，則；(7)若，，則 (8)若四邊形abcd是平行四邊形,則 (9) 的充要條件是且；
3. 化簡得 ————
4.在四邊形abcd中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共線，則四邊形abcd為————
5．已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（ ）
a. |a|－|b|=|a－b| b. |a|－|b|=|a+bc.|a|＋|b|=|a－b| d. |a|＋|b|=|a+b|
6.設四邊形abcd中，有則這個四邊形是（ ）
a.平行四邊形b.矩形c.等腰梯形d.菱形
7.設a、b、c、d、o是平面上的任意五點，試化簡：
4.設為未知向量， 、為已知向量，滿足方程2(5+34)+3=0，
則=————（用、表示）
5.在四面體o-abc中，為bc的中點，e為ad的中點，則=（————用a，b，c表示）
6如圖平行四邊形oadb的對角線od,ab相交於點c，線段bc上有一點m滿足bc=3bm,線段cd上有一點n滿足cd＝3**,設
三點共線問題
1.設是不共線的向量,已知向量,若a,b,d三點共線,求k的值
2.已知：，則下列關係一定成立的是（ ）
a、a，b，c三點共線b、a，b，d三點共線
c、c，a，d三點共線d、b，c，d三點共線
3.已知，且，試求t關於k的函式。
第2講平面向量的基本定理與座標表示
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的__ __向量， _一對實數λ1，λ2使=λ1+λ2
特別提醒：
(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內所有向量的一組基底；
(2)基底不惟一，關鍵是不共線；
(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進行分解；
(4)基底給定時，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一確定的數量
2．平面向量的座標表示
在直角座標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個__ _、作為基底任作乙個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數、，使得…………，我們把叫做向量的（直角）座標，記作…………
特別地，，，
3．平面向量的座標運算
（1） 若，，則
兩個向量和與差的座標分別等於這兩個向量相應座標的和與差
（2） 若，，則
乙個向量的座標等於表示此向量的有向線段的終點座標減去始點的座標
（3）若和實數，則
實數與向量的積的座標等於用這個實數乘原來向量的相應座標
4．向量平行的充要條件的座標表示：設=(x1, y1) ， =(x2, y2) 其中
∥ ()的充要條件是
第3講平面向量的數量積
1．兩個非零向量夾角的概念
已知非零向量與，作＝，＝，則叫與的夾角.
特別提醒：向量與向量要共起點。
2．平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是θ，則數量__ 叫與的數量積，記作，即有 =
特別提醒：
（1並規定與任何向量的數量積為0
（2） 兩個向量的數量積的性質：設、為兩個非零向量，是與同向的單位向量
1) = =||cos；（2） = 0
2) 當與同向時當與反向時， = ||||
特別的 = ||2或
3) cos = ；（4
3．「投影」的概念：如圖
定義叫做向量b在a方向上的投影
特別提醒：
投影也是乙個數量，不是向量；當為銳角時投影為正值；當為鈍角時投影為負值；當為直角時投影為0；當 = 0時投影為 |b|；當 = 180時投影為 |b|
4． 平面向量數量積的運算律
交換律數乘結合律
分配律5．平面兩向量數量積的座標表示
已知兩個非零向量，，設是軸上的單位向量，是軸上的單位向量，那麼， 所以
6.平面內兩點間的距離公式
如果表示向量的有向線段的起點和終點的座標分別為、，
那麼：7.向量垂直的判定：設，，則
8.兩向量夾角的余弦（） cos
【基礎練習一】
1.已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼————
2.在直角座標系中，分別是與軸，軸平行的單位向量，若直角三角形中，，，則的可能值個數為————個
3. 若,，與的夾角為，若，則的值為———4.若，且，則向量與的夾角為———
5.兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角的余弦值。
【基礎練習二】
1.已知向量滿足則與的夾角為————
2.如圖，在四邊形abcd中，
，則的值為————
3.若向量滿足,的夾角為60°，則=————
4.若向量,則————
5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求：① a·b ；②(2a－b) ·(a+3b)
6.已知a與b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角.
【基礎練習三】
1若=，=，則=————
2平面向量中，若，=1，且，則向量=————
3.已知向量，且a、b、c三點共線，則k=————
4.已知平面向量，，且，則————
5.平面內給定三個向量，回答下列問題：
（1）求滿足的實數m,n；
（2）若，求實數k；
（3）若滿足，且，求
6．已知向量，，則與 （ ）
a．垂直b．不垂直也不平行 c．平行且同向 d．平行且反向
7.與向量a=b=的夾解相等，且模為1的向量是 ————
8.已知向量且則向量等於————
9.已知向量 ————
10.若，試判斷則△abc的形狀____ ____
11.已知向量，向量，則的最大值是
12.若是非零向量且滿足， ，則與的夾角是____ ____
13.已知： 、、是同一平面內的三個向量，其中 =（1，2）
（1）若||，且，求的座標；
（2）若||=且與垂直，求與的夾角.
14.已知a＝（5，4），b＝（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為____ ____
15.已知＝1，＝1，a與b的夾角為60°，x＝2a－b,y＝3b－a，則x與y的夾角的余弦值為____ ____
16.已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在實數k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函式的關係式k＝f（t）；
(2) 根據(1)的結論，確定k＝f(t)的單調區間。
平面向量知識點易錯點歸納
1 平面向量基本定理 如果e1 e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數 1 2，使a 1e1 2e2.其中，不共線的向量e1 e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底 2 平面向量的座標運算 1 向量加法 減法 數乘及向量的模 設a x1，y1 b x2，...
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第32講平面向量的概念與運算 1 向量的有關概念 既有 又有 的量叫做向量 的向量叫做零向量，記作0，規定零向量的方向是任意的 的向量叫做單位向量 方向的 向量叫做平行向量 或共線向量 且 的向量叫做相等向量 且 的向量叫做相反向量 2 向量的表示方法 用小寫字母表示，用有向線段表示，用座標表示 3...
平面向量知識點總結及練習
平面向量 一 向量有關概念 1 向量的概念 既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什麼？向量可以平移 如 已知a 1,2 b 4,2 則把向量按向量 1,3 平移後得到的向量是 答 3,0 2 零向量 長度為0的向量叫零向量，記作 注意零向...