第32講平面向量的概念與運算
1．向量的有關概念
既有________又有________的量叫做向量．
________的向量叫做零向量，記作0，規定零向量的方向是任意的．
的向量叫做單位向量．
方向的________向量叫做平行向量(或共線向量)．
________且________的向量叫做相等向量；________且________的向量叫做相反向量．
2．向量的表示方法
用小寫字母表示，用有向線段表示，用座標表示．
3．向量的運算
(1)加法
①法則法則與法則；
②運算律：a＋b＝b＋a (交換律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(結合律)；a＋0＝0＋a＝a.
(2)減法
①減法與加法互為逆運算法則：三角形法則．
(3)實數與向量的積
一般地，實數λ與向量a的積是乙個向量，記作λa，它的長度與方向規定如下：
①|λa
②當λ＞0時，λa的方向與a的方向______；當λ＜0時，λa的方向與a的方向______；當λ＝0時，λa
運算律：設λ、μ為實數，那麼(i)λ(μa)＝(λμ) a；(ii)(λ＋μ) a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.
4．平面向量共線定理
向量b與非零向量a共線的充分必要條件是 ．
5．平面向量基本定理
如果、是同一平面內的兩個________向量，那麼對於這一平面內任一向量a實數，，使a＝＋.
第33講平面向量的座標運算
1．平面向量的座標表示
在平面直角座標系內，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i 、j作為基底，任作一向量ax、y，使得a＝xi＋yj，則實數對________叫做向量a的(直角)座標，記作a＝(x，y)，其中x、y分別叫做a在x軸、y軸上的座標，a＝(x，y)叫做向量a的座標表示．
相等的向量座標________，座標相同的向量是______的向量．
2．平面向量的座標運算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 則a±b
(2)如果a(x1，y1)，b(x2，y2)，則
這就是平面內兩點間的距離公式．
(3)若a＝(x，y)，則λa當λ＝時，表示與a方向相同的________．
3．兩個向量平行的充要條件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b (b≠0)的充要條件是
第34講平面向量的數量積
1．平面向量的夾角：兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則叫做向量a與b的夾角，記作
如果a與b的夾角是________，我們說a與b垂直，記作________．
2．平面向量的數量積：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，我們把數量叫做a與b的數量積(或內積)，記作
規定：零向量與任一向量的數量積為________．
3．平面向量數量積的幾何意義：a·b等於a的長度|a與b在a方向上的投影| b |cosθ的________．
4．平面向量內積的性質：數量積的性質：
設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則
(1) e·a2) a2
(3) a·b＝04)cos5)| a·ba|| b |.
5．平面向量內積的運算律：(1
(2(3
6．平面向量的數量積及有關性質的座標表示：
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b由此得到：
(1)若a＝(x，y)，則|a|2a
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則a，b兩點間距離|ab
(3)設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b的充要條件是
(4)設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)夾角為θ，則
cosθ＝cos〈a，b
第35講線段的定比分點與平移
1．線段的定比分點定義：設p1，p2是直線l上的兩點，點p是l上不同於p1，p2的任意一點，則存在乙個實數λ，使叫做點p分有向線段所成的比．
2．定比λ與分點之間的一一對應關係如下表
3.定比分點的座標公式：設＝λ，p1(x1，y1)、p2(x2，y2)、p(x，y)，o為p1、p2所在平面內任意點，則
(1)向量式
(2)座標式
(3)特殊地：當λ＝1時，分點p為有向線段的中點，即中點
座標公式
4．△abc的重心座標公式
5．平移公式：(1)設點p(x，y)按向量a＝(h，k)平移後得到點
p′(x′，y′)，則這個公式叫做點的平移公式．
(2)曲線y＝f(x)按向量a＝(h，k)平移後所得的曲線的函式解析式為：y′－k＝f(x′－h)，一般再換成y＝f(x－h)＋k.
第36講解斜三角形及應用舉例
1．正弦定理及其變式
(1(2)abc
(3)sinasinbsinc
(4)sina∶sinb∶sinc
2．餘弦定理及其變式
a2b2c2
cosacosbcosc
3．三角形面積公式
△abc的面積用s表示，外接圓半徑用r表示，內切圓半徑用r表示，半周長用p表示則：
(1)s△abcha、hb、hc分別表示a，b，c邊上的高)．
(2)s＝absinc3)s＝2r2________.
(4)s△abcr、r分別為△abc內切圓與外接圓的半徑)．
(5)s＝.
4．應用解斜三角形知識解決實際問題的解題步驟
(1)根據題意畫出示意圖；
(2)確定實際問題所涉及的三角形，並搞清該三角形的已知元和未知元；
(3)選用正、餘弦定理進行求解，並注意運算的正確性；
(4)給出答案．
第37講三角形中的三角函式
1．判斷三角形的形狀特徵，必須從研究三角形的邊與邊的關係(或角與角的關係)入手，充分利用正弦定理與餘弦定理進行轉化，即化邊為角或化角為邊，邊角統一．
三角形形狀判斷依據：
(1)等腰三角形：a＝b或a＝b；
(2)直角三角形：或a＝90°；
(3)鈍角三角形：或a＞90°；
(4)銳角三角形：若a為最大邊，且滿足或a為最大角，且a＜90°.
2．在△abc中常用一些結論：
設△abc的三邊為a、b、c，對應的三個角為a、b、c.
(1)角與角關係：a＋b＋c
(2)在三角形中，大邊對________，反之亦然．
(3)邊與邊關係：a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b，a－b(4)三角形內的誘導公式：
①sin(b＋ccos(b＋ctan(b＋c
②sincos
tancot
③tana＋tanb＋tanc
(5)三角學中的射影定理：在△abc中，b＝a·cosc＋c·cosa，…
(6)在△abc中，a(7)銳角△abc中sina＋sinb＋sinc>cosa＋cosb＋cosc.
平面向量知識點
一 基本概念 1 向量 既有大小又有方向的量叫向量。2 零向量 長度為的向量。3 單位向量 長度為1個單位長度的向量。與非零向量共線的單位向量。4 平行向量 共線向量 若非零向量方向相同或相反，則 規定 零向量與任一向量平行。5 向量相等 長度相等且方向相同的向量 模相等，方向相同 相反向量 模相等...
平面向量知識點
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平面向量知識點
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