吳開年三角函式是高中數學的重要內容，它蘊含著豐富的數學思想方法。靈活地借助數學思想方法解題，往往可以避免複雜的運算，優化解題過程，降低解題難度。本文能過例項介紹幾種常用的數學思想方法。
一. 方程的思想
例1. 已知sinθ+cosθ=，θ（0，π），則cot
解析：由sinθ+cosθ=平方得
sinθcosθ=。
又θ（0，π），
所以sinθ＞0，cosθ＜0，
且sinθ＞，
將sinθ，cosθ看作是方程的兩根。
所以sinθ=，cosθ=。
從而cotθ=，應填。
二. 函式的思想
例2. 已知x，y ∈，且x3+sinx－2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos（x+2y）的值。
解析：設f（u）=u3+sinu。
由①式得f（x）=2a，由②式得
f（2y）=－2a。
因為f（u）在區間上是單調奇函式，
所以f（x）=－f（2y）=f（－2y）。
又所因x,－2y∈，
所以x=－2y，即x+2y=0。
所以cos（x+2y）=1。
三. 數形結合的思想
例3. 函式f（x）=sinx+2，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值範圍是______。
解析：f（x）=
函式f（x）=sinx+2，x∈[0，2π]的圖象（如圖1）與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則1＜k＜3。
四. 化歸的思想
例4. 設α為第四象限的角，若，則tan2
解析：因為==
=，所以，tan2=。
又因為為第四象限的角，
所以tan=，
從而求得tan2=。
五. 分類討論的思想
例5. 若△abc的三內角滿足sina=①，問此三角形是否可能為直角三角形？
解析：假設△abc可以為直角三角形。
（1）若b=90°，則a=90°－c，代入①中，得
sin（90°－c）=，
所以cos2c=1+sinc，1－sin2c=1+sinc，
所以sinc=1，即c=90°。這是不可能的，所以b≠90°。
（2）同理，c≠90°。
（3）若a=90°。
①式右邊=
①式左邊=sina=sin90°=1。
所以此三角形可為直角三角形，此時a=90°。
六. 換元的方法
例6. 已知sin3θ+cos3θ=1，求sinθ+cosθ的值。
解析：因為sin3θ+cos3θ
=（sinθ+cosθ）（sin2θ+cos2θ－sinθcosθ）
=（sinθ+cosθ）（1－sinθcosθ）
所以（sinθ+cosθ）（1－sinθcosθ）=1。
設sinθ+cosθ=x（），
則sinθcosθ=。
所以x，
即x3－3x+2=0，（x－1）2（x+2）=0。
因為，所以x－1=0，得x=1。
所以sinθ+cosθ=1。
七. 整體的方法
例7. 證明cos。
證明：設，
b=，則ab===。
因為b≠0，
所以a=。即原式得證。
八. 模擬聯想的方法
例8. 已知λ為非零常數，x∈r，且f（x+λ）=。問f（x）是否是週期函式？若是，求出它的乙個週期；若不是，請說明理由。
分析：由於探索的是週期函式的問題，容易聯想到三角函式。又f（x+λ）=的結構的形式極易與tan（x+）=進行模擬，故可把tanx看成是f（x）的乙個原型例項，且題中的λ相當於例項中的。
由於週期函式tanx的週期t=4·，故可猜想f（x）也為週期函式，且週期為4λ。
解：f（x+2λ）=f[（x+λ）+λ]
=，則f（x+4）=f[（x+2）+2]
=。所以f（x）是週期函式，且4是它的乙個週期。
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三角函式思想方法總結學生版
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