三角函式·三角函式線及其應用·教案
北京東直門中學吳衛
教學目標
1．使學生理解並掌握三角函式線的作法，能利用三角函式線解決一些簡單問題．
2．培養學生分析、探索、歸納和模擬的能力，以及形象思維能力．
3．強化數形結合思想，發展學生思維的靈活性．
教學重點與難點
三角函式線的作法與應用．
教學過程設計
一、複習
師：我們學過任意角的三角函式，角α的正弦、余弦、正切、餘切、正割、餘割是如何定義的？
生：在α的終邊上任取一點p（x，y），p和原點o的距離是r（r＞0），那麼角α的六個三角函式分別是
（教師板書）
師：如果α是象限角，能不能根據定義說出α的各個三角函式的符號規律？
生：由定義可知，sinα和cscα的符號由y決定，所以當α是第
一、二象限角時，sinα＞0，cscα＞0；當α是第
三、四象限角時，sinα＜0，cscα＜0．cosα和secα的符號由x決定，所以當α是第
一、四象限角時，cosα＞0，secα＞0；當α是第
二、三象限角時，cosα＜0，secα＜0．而tanα，cotα的符號由x，y共同決定，當x，y同號時，tanα，cotα為正；當x，y異號時，tanα，cotα為負．也就是說當α是第
一、三象限角時，tanα＞0，cotα＞0；當α是第
二、四象限角時，tanα＜0，cotα＜0．
師：可以看到，正弦值的正負取決於p點縱座標y，余弦值的正負取決於p點的橫座標x，而正切值的正負取決於x和y是否同號，那麼正弦、余弦、正切的值的大小與p點的位置是否有關？
生：三角函式值的大小與p的位置無關，只與角α的終邊的位置有關．
師：既然三角函式值與p點在角α的終邊上的位置無關，我們就設法讓p點點位於乙個特殊位置，使得三角函式值的表示變為簡單．
二、新課
師：p點位於什麼位置，角α的正弦值表示最簡單？
生：如果r=1，sinα的值就等於y了．
師：那麼對於余弦又該怎麼處理呢？
生：還是取r=1．
師：如果r=1，那麼p點在什麼位置？
生：p點在以原點為圓心，半徑為1的圓上．
師：這個圓我們會經常用到，給它起個名字，叫單位圓，單位圓是以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓．
（板書）
1．單位圓
師：設角α的終邊與單位圓的交點是p（x，y），那麼有sinα=y，cosα=x．
師：我們前面說的都是三角函式的代數定義，能不能將正弦值、余弦值等量幾何化，也就是用圖形來表示呢？因為數形結合會給我們的研究帶來極大的方便，請同學們想想，哪些圖形與這些數值有關呢？
（同學可能答不上來，教師給出更明確的提示．）
師：sinα=y，cosα=x，而x，y是點p的座標，根據座標的意義再想一想．
師：對點來說，是它的位置代表了數，點本身並不代表數．能不能找到乙個圖形，自身的度量就代表數？
生：可以用面積，比如乙個正數可以對應著乙個多邊形的面積，每乙個多邊形的面積對應著唯一乙個正數．
師：很好．但這是乙個二維的圖形，而且多邊形的邊數也不確定，我們還應遵循求簡的原則．有沒有簡單的圖形呢？
生：是不是能用線段的長度來表示？
師：說說你的理由．
生：線段的長度與正數是一一對應的，所以每乙個正數可以用一條線段來作幾何形式．
師：正數可以這樣去做，零怎麼辦呢？能用線段來表示嗎？
生：（非常活躍）當然行了，讓線段兩個端點重合，線段長就是零了．
師：可以畫這樣乙個示意圖，線段乙個端點是a，另乙個端點是b，當a，b重合時，我們說ab是0；當a，b不重合時，我們說ab是乙個正實數．那麼負數怎麼辦呢？能不能想辦法也用線段ab表示？
生：線段的長度沒有負數．
生：我能不能這樣看，a點在直線l上，b點在l上運動，如果b在a的右側，我就說線段ab代表正數；如果b和a重合，就說線段ab代表0；如果b在a的左側，就說線段ab代表負數．
（教師不必理會學生用詞及表述的漏洞．主要是把學生的注意力吸引到對知識、概念的發現上來．）
師：正數與正數不都相等，負數和負數也不都相等，你只是規定了正負還不夠吧？！
生：可以再加上線段ab的長度．這樣所有的實數都能對應一條線段ab，以a為分界點，正數對應的點b在a的右側，而且加上長度，b點就唯一了．
師：他的意見是對線段也給了方向．與直線規定方向是類似的．那麼如何建立有向線段與數的對應關係？
（板書）
2．有向線段
師：顧名思義，有方向的線段（即規定了起點與終點的線段）叫做有向線段，那麼如何建立有向線段與數的對應關係呢？這需要借助座標軸．平行於座標軸的線段可以規定兩種方向．如圖2，線段ab可以規定從點a（起點）到點b（終點）的方向，或從點b（起點）到點a（終點）的方向，當線段的方向與座標軸的正方向一致時，就規定這條線段是正的；當線段的方向與座標軸的正方向相反時，就規定這條線段是負的．如圖中ab=3（長度單位）（a為起點，b為終點），ba=-3（長度單位）（b為起點，a為終點），類似地有cd=-4（長度單位），dc=4（長度單位）．
師：現在我們回到剛才的問題，角α與單位圓的交點p（x，y）的縱座標恰是α的正弦值，但sinα是可正、可負、可為零的實數，能不能找一條有向線段表示sinα？
生：找一條有向線段跟y一致就行了，y是正的，線段方向向上，y是負的，線段方向向下，然後讓線段的長度為｜y｜．
師：理論上很對，到底選擇哪條線段呢？我們不妨分象限來看看．
生：如果α是第一象限的角，過p點向x軸引垂線，垂足叫m（無論學生用什麼字母，教師都要將其改為m），有向線段mp為正，y也是正的，而且mp的長度等於y，所以用有向線段mp表示sinα=y．
（圖中的線段隨教學過程逐漸新增．）
生：如果α是第二象限角，sinα=y是正數，也得找一條正的線段．因為α的終邊在x軸上方，與第一象限一樣，作pm垂直x軸於m，mp=sinα．
師：第一、二象限角的正弦值幾何表示都是mp，那麼第
三、四象限呢？注意此時sinα是負值．
生：這時角α的終邊在x軸下方，p到x軸的距離是｜y｜=-y．所以還是作pm垂直x軸於m，mp方向向下，長度等於-y，所以sinα=y．
師：歸納起來，無論α是第幾象限角，過α的終邊與單位圓的交點p作x軸的垂線，交x軸於m，有向線段mp的符號與點p的縱座標y的符號一致，長度等於｜y｜．所以有mp=y=sinα．我們把有向線段mp叫做角α的正弦線，正弦線是角α的正弦值的幾何形式．
（板書）
3．三角函式線
（1）正弦線——mp
師：剛才討論的是四個象限的象限角的正弦線，軸上角有正弦線嗎？
生：當角α的終邊在x軸上時，p與m重合，正弦線退縮成一點，該角正弦值為0；當角α終邊與y軸正半軸重合時，m點座標為（0，0），p（0，1），mp=1，角α的正弦值為1；當α終邊與y軸負半軸重合時，mp=-1，sinα=-1，與象限角情況完全一致．
師：現在來找余弦線．
生：因為cosα=x（x是點p的橫座標），所以把x表現出來就行了．過p點向y軸引垂線，垂足為n，那麼有向線段np=cosα，np是余弦線．
師：具體地分析一下，為什麼np=cosα？
生：當α是第
一、四象限角時，cosα＞0，np的方向與x軸正方向一致，也是正的，長度為x，有cosα=np；當α是第
二、三象限角時，cosα＜0，np也是負的，也有cosα=np．
師：這位同學用的是模擬的思想，由正弦線的作法模擬得出了余弦線的作法，其他同學有沒有別的想法？
生：其實有向線段om和他作的有向線段np方向一樣，而且長度也一樣，也可以當作余弦線．
師：從作法的簡潔及圖形的簡潔這個角度看，大家願意選哪條有向線段作為余弦線？
生：om．
（板書）
（2）余弦線——om
師：對軸上角這個結論還成立嗎？
（學生經過思考，答案肯定．）
師：我們已經得到了角α的正弦線、余弦線，它們都是與單位圓的弦有關的線段，能不能找到單位圓中的線段表示角α的正切呢？
生：肯定和圓的切線有關係（這裡有極大的猜的成分，但也應鼓勵學生．）
座標等於1的點，這點的縱座標就是α的正切值．
師：那麼橫座標得1的點在什麼位置呢？
生：在過點（1，0），且與x軸垂直的直線上．
生：這條直線正好是圓的切線．（在圖3-（1）中作出這條切線，令點（1，0）為a．）
師：那麼哪條有向線段叫正切線呢？不妨先找某乙個象限角的正切線．
生：設α是第一象限角，α的終邊與過a的圓的切線交於點t，t的橫座標是1，縱座標設為y′，有向線段at=y′，at可以叫做正切線．
師：大家看可以這樣做吧？！但第二象限角的終邊與這條切線沒有交點，也就是α的終邊上沒有橫座標為1的點．
生：可以令x=-1，也就是可以過（-1，0）再找一條切線，在這條切線上找一條有向線段表示tanα．
師：我相信這條線段肯定可以找到，那麼其他兩個象限呢？
生：第三象限角的正切線在過（-1，0）的切線上找，第四象限角的正切線在過（1，0）的切線上找．
師：這樣做完全可以，大家可以課下去試，但我們還是要求簡單，最好只要一條切線，我們當然喜歡過a點的切線（因為這條直線上每個點的橫座標都是1），第
一、四象限角與這條直線能相交，at是正切值的反映，關鍵是第
二、三象限的角．
（如果學生答不出來，由教師講授即可．）
師（或生）：象限角α的終邊如果和過a點的切線不相交，那麼它的反向延長線一定能和這條切線相交．因為△omp∽△oat，om與mp同號時，oa與at也同號；om與mp異號時，oa與at也異號，
（板書）
（3）正切線——at
師：的確像剛才同學們說的，正切線確實是單位圓的切線的一部分，那麼軸上角的正切線又如何呢？注意正切值不是每個角都有．
生：當角α終邊在x軸上時，t和a重合，正切線退縮成了乙個點，正切值為0；當角α終邊在y軸上時，α的終邊與其反向延長線和過a的切線平行，沒有交點，正切線不存在，這與y軸上角的正切值不存在是一致的．
師：可以看到正切線的乙個應用——幫助我們記憶正切函式的定義域．現在我們歸納一下任意角α的正弦線、余弦線、正切線的作法．
設α的終邊與單位圓的交點為p，過p點作x軸的垂線，垂足為m，過a（1，0）點作單位圓的切線（x軸的垂線），設α的終邊或其反向延長線與這條切線交於t點，那麼有向線段mp，om，at分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．
利用三角函式線，我們可以解決一些簡單的有關三角函式的問題．
（板書）
4．三角函式線的應用
例1 比較下列各組數的大小：
分析：三角函式線是乙個角的三角函式值的體現，從三角函式線的方向看出三角函式值的正負，其長度是三角函式值的絕對值．比較兩個三角函式值的大小，可以借助三角函式線．
特殊三角函式值30 45 60角的三角函式值
第3課時 1.2 30 45 60 角的三角函式值 教學目標 1 經歷探索30 45 60 角的三角函式值的過程，能夠進行有關推理，進一步體會三角函式的意義 2 能夠進行含有30 45 60 角的三角函式值的計算 3 能夠根據30 45 60 角的三角函式值，說出相應的銳角的大小 教學重點和難點 重...
特殊角的三角函式
文通中學基礎教案 no.79 文通中學九年級數學學案 b no.79 班級姓名學號成績 課題 7.3特殊角的三角函式主備人 朱適宜審核人 姜海勇 一 知識再現 在 abc中，c 90 銳角a的對邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則 sina cosa tana 二 預習檢測 1 若sin 則銳角 若2co...
任意角的三角函式
課題知識點能力目標德育目標本課重點 任意角的三角函式 1 任意角的三角函式概念能正確理解三角函式的概念培養學生探索精神三角函式的定義及理解 備註三角函式須在掌握概念的情況下，才能深入學習以後的知識，由此可見其重要性 本課難點三角函式的定義及理解 教課前練習 已知兩角,之差為1 其和為1弧度，則,的大...