三角函式是基本初等函式，它是描述週期現象的重要數學模型，在數學和其他領域中具有重要的作用.在本模組中，我們將通過例項，學習三角函式及其基本性質，體會三角函式在解決具有週期變化規律問題中的作用.
三角函式是基本初等函式之一，它和代數、幾何、平面向量等有著密切的聯絡，在現實生活中也有廣泛的應用，近幾年各省高考卷可以看出，三角函式的試題重基礎，起點低，考查全面.對三角函式的考察不僅考查了三角函式的性質、三角函式的求值、化簡、證明，三角形中的三角函式問題等重點內容，還全面地考查了三角函式的基礎知識，基本技能和基本方法，尤其是三角函式定義，不難看出在三角函式各類題型中都有意無意地考查了三角函式定義，甚至有時在解題中起到了關鍵的作用.
(一)知識內容
1. 角的概念的推廣
⑴角：一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所成的圖形.其中頂點，始邊，終邊稱為角的三要素.角可以是任意大小的.
⑵角按其旋轉方向可分為：正角，零角，負角.
①正角：習慣上規定，按照逆時針方向旋轉而成的角叫做正角；
②負角：按照順時針方向旋轉而成的角叫做負角；
③零角：當射線沒有旋轉時，我們也把它看成乙個角，叫做零角.
⑶在直角座標系中討論角：
①角的頂點在原點，始邊在x軸的非負半軸上，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角.
②若角的終邊在座標軸上，就說這個角不屬於任何象限，它叫軸線角.
《教師備案》可通過初中角的概念的定義引出角的概念的推廣.
①初中角的概念：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊.
②角還可以看成是一條射線繞它的端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所成的圖形.初中學此定義時，不考慮旋轉方向，旋轉的絕對量是一樣的，而且旋轉的絕對量不超過乙個周角.
③轉角：旋轉生成的角，又常叫做轉角.各角和的旋轉量等於各角旋轉量的和.
2.終邊相同的角的集合：設表示任意角，所有與終邊相同的角，包括本身構成乙個集合，這個集合可記為.集合的每乙個元素都與的終邊相同，當時，對應元素為.
《教師備案》①終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同；
②終邊相同的角有無數多個，它們相差的整數倍.
③正確理解角：
「間的角」指的是：；
「第一象限的角」，「銳角」，「小於的角」，這三種角的集合分別表示為：
，，.3.弧度制和弧度制與角度制的換算
⑴角度制：把圓周等分，其中1份所對的圓心角是度，用度作單位來度量角的制度叫做角度制.
《教師備案》一些特殊角的度數與弧度數的對應表：
⑵1弧度的角：長度等於半徑長的圓弧所對的圓心角叫做弧度的角.
規定：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.任一已知角的弧度數的絕對值，這種以「弧度」作為單位來度量角的制度叫做弧度制.
⑶弧度與角度的換算：，
《教師備案》比值與所取圓的半徑大小無關，而僅與角的大小有關.
度量角的制度除角度制和弧度制外，還有軍事上常用的密位制，密位制的單位是「密位」，密位就是圓周的的弧所對的圓心角.因為密位，所以密位；密位.除了以上三種以外，還有其他的角的度量單位，這裡不再一一介紹.
(二)典例分析
【例1】 ⑴在與範圍內，找出與下列各角終邊相同的角，並判斷它們是第幾象限角：
①；②；③.
⑵分別寫出與下列各角終邊相同的角的集合，
寫出中滿足不等式的元素：
①；②；③.
【例2】 ⑴把化成弧度；
⑵把化成度.
【例3】 ⑴把化成弧度；⑵把化成度.
【例4】 將下列各角化為的形式，並判斷其所在象限.
(1)；
(2)-315°；
(3)-1485°.
【例5】 下面四個命題中正確的是（）
a.第一象限的角必是銳角b.銳角必是第一象限的角
c.終邊相同的角必相等d.第二象限的角必大於第一象限的角
【例6】 把下列各角寫成的形式，並指出它們所在的象限或終邊位置.
⑴；⑵；⑶.
【例7】 已知角的終邊經過點，則與終邊相同的角的集合是 .
ab.cd.
【例8】 寫出終邊在軸上的角的集合.
《教師備案》關於象限角的角度表示，下面以第一象限角為例：
⑴在內第一象限角可表示為；
⑵與終邊相同的角分別為；
⑶第一象限角的集合就是夾在這兩個終邊相同的角中間的角的集合，我們表示為：
.歸納出第
二、三、四象限角的集合的表示法：；；
.說明：區間角的集合的表示不唯一.
【例9】 將第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角分別用弧度制的形式表示.
【例10】 終邊在座標軸上的角的集合＿＿.
【例11】 有人喜歡把表播快5分鐘，那麼在撥快5分鐘的過程中，分針和時針分別轉過的弧度數是多少？
【例12】 若和的終邊關於y軸對稱，則和的關係是＿＿.
【例13】 ⑴已知集合，，則 .
a. b. c. d.
⑵已知是第二象限的角，若同時滿足條件，求的取值區間.
【例14】 若角、的終邊相同，則的終邊在 .
a.軸的非負半軸上b.軸的非負半軸上
c.軸的非正半軸上d.軸的非正半軸上
【例15】 當角與的終邊互為反向延長線，則的終邊在 .
a.軸的非負半軸上b.軸的非負半軸上
c.軸的非正半軸上d.軸的非正半軸上
【例16】 ⑴若角和的終邊關於軸對稱，則角和之間的關係為
⑵若角與的終邊關於軸對稱，則角和之間的關係為
【例17】 已知集合，，則 .
a. b. c. d.
【例18】 若是第二象限角，則：
⑴是第幾象限角？
⑵不在第幾象限？
【例19】 ⑴已知扇形的周長為，面積為，求扇形的圓心角和弧度數.
⑵已知扇形的周長為，當它的半徑和圓心角取什麼值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？
【例20】 若1段圓弧長等於其所在圓的內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數是多少？
(一）知識內容
1.三角函式定義
在直角座標系中，設是乙個任意角，終邊上任意一點（除了原點）的座標為，它與原點的距離為，那麼
⑴比值叫做的正弦，記作，即；
⑵比值叫做的余弦，記作，即；
⑶比值叫做的正切，記作，即；
⑷比值叫做的餘切，記作，即；
⑷比值叫做的正割，記作，即；
⑸比值叫做的餘割，記作，即.
《教師備案》①的始邊與軸的非負半軸重合，的終邊沒有表明一定是正角或負角，以及的大小，只表明與的終邊相同的角所在的位置；
②根據相似三角形的知識，對於確定的角，六個比值不以點在的終邊上的位置的改變而改變大小；
③當時，的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫座標都等於，所以與無意義；同理，當時，與無意義；
④除以上兩種情況外，對於確定的值，比值、、、、、分別是乙個確定的實數，所以正弦、余弦、正切、餘切、正割、餘割是以角為自變數，以比值為函式值的函式，以上六種函式統稱為三角函式.
2.三角函式的定義域、值域
3.三角函式的符號
由三角函式的定義，以及各象限內點的座標的符號，我們可以得知：
⑴正弦值對於第
一、二象限為正（），對於第
三、四象限為負（）；
⑵余弦值對於第
一、四象限為正（），對於第
二、三象限為負（）；
⑶正切值對於第
一、三象限為正（同號），對於第
二、四象限為負（異號）.
可以用下圖表示：
說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函式值.
《教師備案》三角函式在各象限的符號是學習誘導公式的基礎，因此建議教師在此處多舉例讓學生口答，靈活掌握這部分知識，在例題中沒有放此類題目.可按以下方式舉例：
如⑴；⑵；⑶；（4），⑸.
關於的判斷方法，可根據，則所在的象限為第二象限.
4.同角三角函式的基本關係式：
平方關係：，，
商數關係：，
倒數關係：
《教師備案》①注意「同角」，至於角的形式無關重要，如等；
②注意這些關係式都是對於使它們有意義的角而言的，如；
③對這些關係式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），如：
，，等.
④特殊角的三角函式值
6.誘導公式：
⑴角與的三角函式間的關係；
, ,;
⑵角與的三角函式間的關係；
, ,;
⑶角與的三角函式間的關係；
, ,;
⑷角與的三角函式間的關係.
, ,.
《教師備案》誘導公式的記憶方法：「奇變偶不變，符號看象限」，具體指的是對於任意三角函式，以為例，若為的偶數倍，則函式名不改變，根據角所在象限判斷變換後的三角函式的符號，若為的奇數倍，則函式名改變成余弦，符號同理仍然看象限.
4.三角函式式的化簡與三角恒等式的證明是個難點，需要學生熟悉並靈活運用所學的公式與知識，一般情況下，化簡的基本思路是：減少角的種數，減少三角函式的種數，適當配湊和拆分，統一切割化弦等等.
（二）典例分析
《教師備案》本板塊的例題主要涉及三角函式的定義、同角三角函式關係、利用同角三角函式的基本關係進行三角函式的化簡、誘導公式的應用以及三角函式與二次函式的綜合等知識內容，解題關鍵是三角函式的值域.
【例21】 ⑴求下列三角函式值：
①；②；③；④.
⑵將下列三角函式化為到之間角的三角函式：
①；②；③；
【例22】 化簡：⑴⑵
⑶【例23】 設且，確定是第幾象限角.
【例24】 若角滿足條件，，則在第幾象限？
【例25】 ⑴已知角的終邊經過點，求的六個函式值.
⑵求下列各角的六個三角函式值：①；②.
【例26】 ⑴已知，並且是第二象限角，求.
⑵已知，求.
⑶化簡：
《教師備案》已知乙個角的某乙個三角函式值，便可運用基本關係式求出其它三角函式值.在求值中，確定角的終邊位置是關鍵和必要的.有時，由於角的終邊位置的不確定，因此解的情況不只一種.
解題時產生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關係開平方時，漏掉了負的平方根.
【例27】 已知角的終邊經過點p，問是第幾象限的角，並求出的六個三角函式值.
同角三角函式
1.2.2 同角三角函式關係 李文祥一 教學目的 1 理解並掌握同角三角函式的基本關係式 2 正確運用同角三角函式的基本關係式進行三角函式式的求值運算 3 通過利用三角函式的定義推導同角三角函式的基本關係式，培養學生融會貫通前後數學知識的能力，進一步感受數學的整體性 連貫性 二 教學重點 同角三角函...
同角三角函式關係
1 教材依據 本節課依據高中數學北師大版必修四第三章第一節同角三角函式的基本關係。2 學情分析 學生學習基礎薄弱，計算能力較差，期中考試結束後學生普遍在三角函式恒等變形這部分試題得分較差。前面第一章三角函式掌握也不太理想，所以基於這些原因，在前面學習的基礎上重新對這部分進行複習，例題選取稍加難度。3...
同角三角函式 2
1.2.2 同角三角函式的基本關係式 2 張瑩一 教學目標 1.根據三角函式關係式進行三角式的化簡和證明 2.了解已知乙個三角函式關係式求三角函式 式 值的方法。二 教學重 難點 如何運用公式對三角式進行化簡和證明。三 教學過程 一 複習 1 同角三角函式的基本關係式。1 倒數關係 2 商數關係 3...