三角函式
概念、方法、題型、易誤點總結
1、角的概念的推廣：平面內一條射線繞著端點從乙個位置旋轉到另乙個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成乙個零角。
射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。
2、象限角的概念：在直角座標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。如果角的終邊在座標軸上，就認為這個角不屬於任何象限。
3. 終邊相同的角的表示：
（1）終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上) ，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角的終邊相同，且絕對值最小的角的度數是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：；）
（2）終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上) .
（3）終邊與終邊關於軸對稱.
（4）終邊與終邊關於軸對稱.
（5）終邊與終邊關於原點對稱.
（6）終邊在軸上的角可表示為：；終邊在軸上的角可表示為：；終邊在座標軸上的角可表示為：.如的終邊與的終邊關於直線對稱，則
（答：）
4、與的終邊關係：由「兩等分各象限、一二三四」確定.如若是第二象限角，則是第_____象限角
（答：一、三）
5.弧長公式：，扇形面積公式：，1弧度(1rad). 如已知扇形aob的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。
（答：2）
6、任意角的三角函式的定義：設是任意乙個角，p是的終邊上的任意一點（異於原點），它與原點的距離是，那麼，， ， ，。三角函式值只與角的大小有關，而與終邊上點p的位置無關。如
（1）已知角的終邊經過點p(5，－12)，則的值為＿＿。
（答：）；
（2）設是第
三、四象限角，，則的取值範圍是_______
（答：（－1，）；
（3）若，試判斷的符號
（答：負）
7.三角函式線的特徵是：正弦線mp「站在軸上(起點在軸上)」、余弦線om「躺在軸上(起點是原點)」、正切線at「站在點處(起點是)」.
三角函式線的重要應用是比較三角函式值的大小和解三角不等式。如
（1）若，則的大小關係為_____
(答：)；
（2）若為銳角，則的大小關係為_______
（答：）；
（3）函式的定義域是_______
（答：）
8.特殊角的三角函式值：
9. 同角三角函式的基本關係式：
（1）平方關係：
（2）倒數關係：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,
（3）商數關係：
同角三角函式的基本關係式的主要應用是，已知乙個角的三角函式值，求此角的其它三角函式值。在運用平方關係解題時，要根據已知角的範圍和三角函式的取值，盡可能地壓縮角的範圍，以便進行定號；在具體求三角函式值時，一般不需用同角三角函式的基本關係式，而是先根據角的範圍確定三角函式值的符號，再利用解直角三角形求出此三角函式值的絕對值。如
（1）函式的值的符號為____
（答：大於0）；
（2）若，則使成立的的取值範圍是____
（答： ）；
（3）已知，，則＝____
（答：）；
（4）已知，則
（答：；）；
（5）已知，則等於
a、 b、 c、 d、
（答：b）；
（6）已知，則的值為______
（答：－1）。
10.三角函式誘導公式（）的本質是：奇變偶不變（對而言，指取奇數或偶數），符號看象限（看原函式，同時可把看成是銳角）.
誘導公式的應用是求任意角的三角函式值，其一般步驟：（1）負角變正角，再寫成2k+,；(2)轉化為銳角三角函式。如
（1）的值為________
（答：）；
（2）已知，則______，若為第二象限角，則________。
（答：；）
11、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
如（1）下列各式中，值為的是
a、 b、
c、 d、
（答：c）；
（2）命題p：，命題q：，則p是q的
a、充要條件 b、充分不必要條件
c、必要不充分條件 d、既不充分也不必要條件
（答：c）；
（3）已知，那麼的值為____
（答：）；
（4）的值是______
（答：4）；
(5)已知，求的值（用a表示）甲求得的結果是，乙求得的結果是，對甲、乙求得的結果的正確性你的判斷是______
（答：甲、乙都對）
12. 三角函式的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是：一角二名三結構。
即首先觀察角與角之間的關係，注意角的一些常用變式，角的變換是三角函式變換的核心！第二看函式名稱之間的關係，通常「切化弦」；第三觀察代數式的結構特點。基本的技巧有:
（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換. 如，，，，等），如
（1）已知，，那麼的值是_____
（答：）；
（2）已知，且，，求的值
（答：）；
（3）已知為銳角，，，則與的函式關係為______
（答：）
(2)三角函式名互化(切割化弦)，如
（1）求值
（答：1）；
（2）已知，求的值
（答：）
(3)公式變形使用（。如
（1）已知a、b為銳角，且滿足，則＝_____
（答：）；
(2)設中，，，則此三角形是____三角形
（答：等邊）
(4)三角函式次數的降公升(降冪公式：，與公升冪公式：，)。如
(1)若，化簡為_____
（答：）；
（2）函式的單調遞增區間為____
（答：）
(5)式子結構的轉化(對角、函式名、式子結構化同)。如
（1）（答：）；
（2）求證：；
（3）化簡：
（答：）
(6)常值變換主要指「1」的變換（
等），如已知，求（答：）.
(7)正余弦「三兄妹—」的記憶體聯絡――「知一求二」，如
（1）若，則 __
（答：)，特別提醒：這裡；
（2）若，求的值。
（答：）；
（3）已知，試用表示的值
（答：）。
13、輔助角公式中輔助角的確定： (其中角所在的象限由a, b的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用。如
（1）若方程有實數解，則的取值範圍是
（答：[－2,2]）；
（2）當函式取得最大值時，的值是______
(答：)；
（3）如果是奇函式，則=
(答：－2)；
（4）求值
(答：32)
14、正弦函式和余弦函式的圖象：正弦函式和余弦函式圖象的作圖方法：五點法：
先取橫座標分別為0，的五點，再用光滑的曲線把這五點連線起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在乙個週期內的圖象。
15、正弦函式、余弦函式的性質：
（1）定義域：都是r。
（2）值域：都是，對，當時，取最大值1；當時，取最小值－1；對，當時，取最大值1，當時，取最小值－1。如
（1）若函式的最大值為，最小值為，則__，＿
（答：或）；
（2）函式（）的值域是____
（答：[－1, 2]）；
（3）若，則的最大值和最小值分別是
（答：7；－5）；
（4）函式的最小值是_____，此時
（答：2；）；
（5）己知，求的變化範圍
（答：）；
（6）若，求的最大、最小值
（答：，）
。特別提醒：在解含有正余弦函式的問題時，你深入挖掘正余弦函式的有界性了嗎？
（3）週期性：①、的最小正週期都是2；②和的最小正週期都是。如
(1)若，則＝___
（答：0）；
(2) 函式的最小正週期為____
（答：）；
(3) 設函式，若對任意都有成立，則的最小值為____
（答：2）
（4）奇偶性與對稱性：正弦函式是奇函式，對稱中心是，對稱軸是直線；余弦函式是偶函式，對稱中心是，對稱軸是直線（正(餘)弦型函式的對稱軸為過最高點或最低點且垂直於軸的直線，對稱中心為圖象與軸的交點）。如
（1）函式的奇偶性是______、
（答：偶函式）；
（2）已知函式為常數），且，則______
（答：－5）；
（3）函式的圖象的對稱中心和對稱軸分別是
（答：、）；
（4）已知為偶函式，求的值。
（答：）
（5）單調性：上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞減，在上單調遞增。特別提醒，別忘了！
16、形如的函式：
（1）幾個物理量：a―振幅；―頻率（週期的倒數）；―相位；―初相；
（2）函式表示式的確定：a由最值確定；由週期確定；由圖象上的特殊點確定，如，的圖象如圖所示，則＝_____（答：）；
（3）函式圖象的畫法：①「五點法」――設，令＝0，求出相應的值，計算得出五點的座標，描點後得出圖象；②圖象變換法：這是作函式簡圖常用方法。
（4）函式的圖象與圖象間的關係：①函式的圖象縱座標不變，橫座標向左（>0）或向右（<0）平移個單位得的圖象；②函式圖象的縱座標不變，橫座標變為原來的，得到函式的圖象；③函式圖象的橫座標不變，縱座標變為原來的a倍，得到函式的圖象；④函式圖象的橫座標不變，縱座標向上（）或向下（），得到的圖象。要特別注意，若由得到的圖象，則向左或向右平移應平移個單位，如
（1）函式的圖象經過怎樣的變換才能得到的圖象？
（答：向上平移1個單位得的圖象，再向左平移個單位得的圖象，橫座標擴大到原來的2倍得的圖象，最後將縱座標縮小到原來的即得的圖象）；
(2) 要得到函式的圖象，只需把函式的圖象向___平移____個單位
（答：左；）；
（3）將函式影象，按向量平移後得到的函式影象關於原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量）；
（4）若函式的圖象與直線有且僅有四個不同的交點，則的取值範圍是
（答：）
（5）研究函式性質的方法：模擬於研究的性質，只需將中的看成中的，但在求的單調區間時，要特別注意a和的符號，通過誘導公式先將化正。如
（1）函式的遞減區間是______
（答：）；
（2）的遞減區間是_______
（答：）；
（3）設函式的圖象關於直線對稱，它的週期是，則
a、b、在區間上是減函式
c、d、的最大值是a
（答：c）；
（4）對於函式給出下列結論：
①圖象關於原點成中心對稱；
②圖象關於直線成軸對稱；
③圖象可由函式的影象向左平移個單位得到
；④影象向左平移個單位，即得到函式的影象。
其中正確結論是_______
（答：②④）；
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