四川張繼海
數學思想方法屬於方法範疇，但更多地帶有思想、觀點的屬性，是數學知識在更高層次上的抽象和概括．中學教學與高考考查中，常用的數學思想有：化歸與轉化的思想，函式與方程的思想，數形結合的思想，分類與整合的思想，特殊與一般的思想，有限與無限的思想，或然與必然的思想等．本文主要說明的是，數學思想方法在三角函式中的應用．
在三角函式一章中，主要用到的數學思想方法有：
1．化歸與轉化的思想把未知化歸為已知，如用誘導公式把求任意角的三角函式值逐步化歸為求銳角的三角函式值；把特殊化歸為一般，如把正弦函式的圖象逐步化歸為函式y = asin（ωx + φ），x∈r（其中a＞0，φ＞0）的簡圖，把已知三角函式值求特殊範圍內的角逐步化歸為求適合條件的所有角的集合等；等價化歸，如進行三角函式式的化簡、恒等變形和證明三角恒等式．
2．函式與方程思想在某些等式條件中，餘弦定理，特別是已知三角函式值求角時，可將其看作是關於某個元的方程（組），借助解方程（組）的思想使問題得以解決．
3．數形結合的思想如將角的研究納入直角座標系下，利用三角函式線作正弦、余弦、正切函式的圖象，利用圖象求解某些三角等式或不等式問題．
4．分類與整合的思想如已知角的某一三角函式值，求的其餘三角函式值或求角時，則應分情況討論的範圍或所在象限，用正弦定理解已知兩邊和一邊的對角這類斜三角形問題時亦應分類討論．
例1 在△abc中，已知，，ac邊上的中線bd =，求sina的值．
分析與解設e為bc的中點，連線de，則de∥ab，且de =．
設be = x，在△bde中，利用餘弦定理可得： bd2 = be2 + ed2－2 be·ed·cosbed，
∴ ， 3x2 + 4x－7 = 0，
解得 x = 1，（捨去）， 故 bc = 2．
從而，即．
評注本題內涵豐富，結構特別，有很多（至少5種）解法，同學們不妨一試．它不僅對方程的思想、數形結合的思想有較深入的考查，而且對等價轉化的思想方法也有很高的要求．
例2 已知銳角三角形abc中，，．
（1）求證：tana = 2tanb；
（2）設ab = 3，求ab邊上的高．
分析與解題目給出的條件是兩角和與差的正弦值，用和、差角公式將其展開，得
此時有sina，cosa，sinb，cosb四個未知數，顯然不能通過兩個方程求出，因此將sinacosb，cosasinb看成兩個未知數（二元一次方程組），將其整體解出，得
，．由於兩個等式相除可得正切與餘切，tana·cotb = 2，即tana = 2 tanb．（這也可從轉化待定式 sinacosb = 2cosasinb得到有效支撐）．
由第（1）問的結論，能得關於tana與tanb的乙個方程 tana = 2 tanb．③ 還需要再建立乙個關於tana與tanb的方程，這個方程可由已知條件及求得，先得出，展開後，得．④
解由③、④組成的方程組，可求出，．
求cd時，同樣需要列方程：
ab = ad + db =，由ab = 3，可解得ab邊上的高．
評注本題是對三角恒等變形及求值問題的考查，重點放在方程思想和轉化思想上，其解題過程是方程思想與轉化思想的最佳體現．
例3 已知函式y = tan（2x + ）的圖象過點，則可以是（ ）．
abcd．
分析與解 ∵ y = tan（2x + ）過點，
∴ ，即，，k∈z．
當 k = 0時，得，選a．
評注將點代入後，化為已知三角函式值求角的問題，這時應通過座標系寫出滿足條件的角的終邊所在象限的所有角，再結合題目要求求出其解．
例4 已知，， 是成公比為2的等比數列（∈[ 0，2 ]），且sin，sin，sin 也成等比數列．求，， 的值．
分析與解 ∵ ，， 是成公比為2的等比數列，
∴ = 2， = 4． （減少變數，消元）
∵ sin，sin，sin 成等比數列，
∴cos = 2cos2－1， 即 2cos2－cos－1 = 0，（化歸為關於cos 的二次方程）
解得 cos = 1，或．
當 cos = 1時，sin = 0，與等比數列的首項不為零矛盾，故cos = 1應捨去．
當，∈[ 0，2 ] 時， 或．
所以，， 或，，．
評注本題通過將文字敘述向等式（符號）轉化，使用方程思想（消元）化為關於cos的一元二次方程，並時時注意字母取值範圍，而簡捷獲解．
例5 已知 6 sin2 + sin·cos－2cos2 = 0，，求的值．
分析與解首先從已知出發，需要將二次式轉化為一次式（因式分解轉化），（或減少函式名種類，轉化為關於tan 的一元二次方程），有
（3sin + 2cos）（2sin－cos）= 0，
即 3sin + 2cos = 0 或 2sin－cos = 0．
由已知條件可知cos≠0，所以，即，從而tan＜0，
∴．其次從待求式出發，有
====．
於是將tan 的值代入，不難計算出的值等於，為所求．
評注本題對已知和待求式一再進行等價轉化，目的是溝通它們的聯絡，尋到乙個聯結點tan．事實上，若借助於計算器（機），亦可由直接求出角≈－33.69，代入快速求得其值為－0.12845，與上述結果一致．
例6 若，求cos 的值．
分析與解 =，
∴ ，
即 ，，．
∴ ．
評注本題通過和角公式、倍角公式（或變形）對已知條件一再實施轉化，使其和結論聯絡起來．
例7 函式（ ）．
a．在上遞減
b．在上遞減
c．在上遞減
d．在上遞減
分析與解將函式f（x）簡單化、明顯化，有
是分段函式，
即（1）在
一、二象限時sin x＞0，單調遞增；
（2）在
三、四象限時sin x＜0，單調遞減．
於是，結合備選項，選a．
評注本題綜合考查三角函式式的化簡及分段函式知識，同時較好地考查了三角函式的性質，整個解題過程十分深刻地蘊含了多種數學思想的應用．
例8 函式y = a·sin（ x + ）（＞0，| |＜，x∈r）
的部分圖象如圖所示，則函式表示式為（ ）．
a． b．
c． d．
分析與解由圖象可以看出，
a = 4，， ∴ t = 16， 於是．
將點（－2，0）（或（6，0））代入函式中，得，∴（比照到正弦函式五點作圖簡法，此處對應於），
∴．又 ∵， ∴ 函式表示式為=，選a．
評注本題考查給定三角函式圖象，求三角函式表示式，考查方程、數形結合和化歸的數學思想．
自我檢測
一、選擇題
1．對任意的銳角，，下列不等關係中正確的是d
a．sin（ + ）＞ sin + sin b．sin（ + ）＞ cos + cos
c．cos（ + ）＜ sin + sin d．cos（ + ）＜ cos + cos
2．當時，函式的最小值為c
a．2bc．4d．
解將函式式等價化為，
所以，當時，有f（x）≥ 4，選c。
3．在△abc中，已知，給出以下四個論斷：
① tana· cotb = 1
③ sin2a + cos2b = 1cos2a + cos2b = cos2c
其中正確的是（ ）．b
abcd．②③
解將已知等式明顯化，有，
∴ ，得．
從而，① tana· cotb = tana· tana = tan2a = 1不一定成立；
② sina + sinb = sina + cosa =sin(a +) ∈（0，；
③ sin2a + cos2b = 2sin2a = 1不一定成立；
④ cos2a + cos2b = cos2a + sin2a = 1．
故②④正確，選b．
4．銳角三角形的內角a、b滿足tana－= tanb，則有（ ）．
a．sin2a－cosb = 0b．sin2a + cosb = 0
c．sin2a－sinb = 0d．sin2a + sinb = 0
解已知式可變形為
，得，不難驗證，a正確．
5ba．tanb．tan2 c．1d．
解原式=，選b．
6．設函式f（x）= sin3x +︱sin3x︱，則f（x）為a
a．週期函式，最小正週期為 b．週期函式，最小正週期為
c．週期函式，數小正週期為2 d．非週期函式
解 ∵ 函式 ∴ 畫出大致圖象，即可選出a．
7．若 sin + cos = tan（），則c
abcd．
解 ∵ ，，
∴ ，，選c．
8．給出四個函式，則同時具有以下兩個性質：① 最小正週期是；② 圖象關於點對稱的函式是（ ）．d
a． b． c． d．
解由①可排除c，由於的對稱中心是（k∈z），可知選擇支d符合要求．
9．先將函式y = sin2x的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象作關於y軸的對稱變換，則所得函式圖象對應的解析式為（ ） d
ab．cd．解將函式y = sin2x的圖象向右平移個單位長度，得到，再將所得圖象作關於y軸的對稱變換得到，故選d．
二、填空題
1．函式f（x）= cos x +∣cos2x∣（x∈）取得最小值時x的值為
解顯然，函式f（x）是偶函式．
設 cos x = t∈[0，1]， 則 y = t +∣2 t2－1∣．
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