一、填空題(本大題共9小題，每小題6分，共54分)
1．(2009·濟寧期末)已知a＝(cos 2α，sin α)，b＝(1,2sin α－1)，α∈(，π)，若a·b＝，則
tan(α＋)的值為________．
解析 a·b＝cos 2α＋2sin2α－sin α＝1－2sin2α＋2sin2α－sin α＝1－sin α＝，
∴sin α＝，又α∈(，π)，∴cos α＝－，tan α＝－，
∴tan(α＋)＝＝＝.
答案 2．(2008·江蘇)若ab＝2，ac＝bc，則s△abc的最大值是________．
解析設bc＝x，則ac＝x，根據面積公式得s△abc＝ab·bcsin b＝×2x，
根據餘弦定理得cos b＝＝＝，將其代入上式得
s△abc＝x＝，
由三角形三邊關係有解得2－2故當x＝2時，即x2－12＝0時，s△abc取得最大值2.
答案 2
3．(2009·肇慶期末)定義運算a*b＝a2－ab－b2，則sin*cos
解析 sin*cos＝sin2－sincos－cos2＝－(cos2－sin2)－×2sincos
＝－cos－sin＝－.
答案 －
4．(2009·廣州第二次聯考)已知a，b，x，y∈r，a2＋b2＝4，ax＋by＝6，則x2＋y2的最小值為________．
解析因為a2＋b2＝4，可設a＝2sin α，b＝2cos α，則xsin α＋ycos α＝3.
故sin(α＋φ)＝3(其中tan φ＝)即＝，故的最小值為3.
即x2＋y2的最小值為9.
答案 9
5．(2010·宿州模擬)若函式f(x)＝sin(x＋α)－2cos(x－α)是偶函式，則cos 2
解析 ∵f(x)＝(cos α－2sin α)sin x＋(sin α－2cos α)cos x是偶函式，
故cos α－2sin α＝0，cos α＝2sin α，∴cos2α＋sin2α＝5sin2α＝1，
即sin2α＝，cos 2α＝1－2sin2α＝.
答案 6．(2010·泰州調研)函式f(x)＝(sin2x＋)·(cos2x＋)的最小值是________．
解析 f(x)＝＝
＝sin2xcos2x＋－≥(－1)．
答案 (－1)
7．(2009·福建文)已知銳角△abc的面積為3，bc＝4，ca＝3，則角c的大小為________．
解析由題知，×4×3×sin c＝3，∴sin c＝.又∵0答案 60°
8．(2010·蘇南四市模擬)俗話說「一石激起千層浪」，小時候在水上打「水漂」的遊戲一定不會忘記吧．現在乙個圓形波浪實驗水池的中心已有兩個振動源，在t秒內，它們引發的水面波動可分別由函式y1＝sin t和y2＝sin(t＋)來描述，當這兩個振動源同時開始工作時，要使原本平靜的水面保持平靜，則需再增加乙個振動源(假設不計其他因素，則水面波動由幾個函式的和表達)，請你寫出這個新增振動源的函式解析式
解析因為y1＋y2＋y3＝sin t＋sin(t＋)＋y3＝0即sin t＋cos t＋y3＝0，
所以y3＝sin(t＋)時符合題意．本題也可為y3＝sin(t－)(答案不惟一)．
答案 y3＝sin(t＋)
9．(2010·南通模擬)2023年在北京召開的國際數學家大會，會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎設計的．弦圖是由四個全等直角三角形與乙個小正方形拼成的乙個大正方形(如圖)．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那麼cos 2θ的值等於
解析 ∵大正方形面積為25，小正方形面積為1，
∴大正方形邊長為5，小正方形的邊長為1.∴5cos θ-5sin θ=1，∴cosθ-sin θ=.
∴1-sin 2θ=，∴sin 2θ=.∵θ是直角三角形中較小的銳角，
∴0<θ<∴cos 2θ=
答案 二、解答題(本大題共3小題，共46分)
10．(14分)(2008·福建)已知向量m＝(sin a，cos a)，n＝(，－1)，m·n＝1，且a為銳角．
(1)求角a的大小；
(2)求函式f(x)＝cos 2x＋4cos asin x (x∈r)的值域．
解 (1)由題意得m·n＝sin a－cos a＝1，即2sin＝1，所以sin＝，
由a為銳角得a－＝，所以a＝.
(2)由(1)知cos a＝，所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋.
因為x∈r，所以sin x∈[－1,1]，因此，當sin x＝時，f(x)有最大值；
當sin x＝－1時，f(x)有最小值－3.所以所求函式f(x)的值域是.
11．(16分)(2010·蘇、錫、常、鎮四市調研)已知函式f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋(ω∈r，x∈r)的最小正週期為π，且圖象關於直線x＝對稱．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函式y＝1－f(x)的圖象與直線y＝a在[0，]上只有乙個交點，求實數a的取值範圍．
解 (1)∵f(x)＝sin ωx·cos ωx－cos2ωx＋
＝sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)＋＝sin(2ωx－)＋1，
∵函式f(x)的最小正週期為π，∴＝π，即ω＝±1，∴f(x)＝sin(±2x－)＋1.
①當ω＝1時，f(x)＝sin(2x－)＋1，∴f()＝sin＋1不是函式的最大值或最小值，
∴其圖象不關於x＝對稱，捨去．
②當ω＝－1時，f(x)＝－sin(2x＋)＋1，∴f()＝－sin＋1＝0是最小值，
∴其圖象關於x＝對稱．故f(x)的解析式為f(x)＝1－sin(2x＋)．
(2)∵y＝1－f(x)＝sin(2x＋)在同一座標系中作出y＝sin(2x＋)和y＝a的圖象：
由圖可知，直線y=a在a∈或a=1時，兩曲線只有乙個交點，
∴a∈或a=1.
12.（16分） (2009·浙江)在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，
且滿足cos
(1)求△abc的面積；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
解 (1)因為cos＝，所以cos a＝2cos2－1＝，sin a＝.又由
得bccos a＝3，所以bc＝5，因此s△abc＝bcsin a＝2.
(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，所以b＝5，c＝1，或b＝1，c＝5.
由餘弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos a＝20，所以a＝2.
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