平面向量
應試技巧總結
一．向量有關概念：
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什麼？（向量可以平移）。如：
已知a（1,2），b（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移後得到的向量是_____（答：（3,0））
2．零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；
3．單位向量：長度為乙個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；
4．相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；
5．平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；
②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；
③平行向量無傳遞性！（因為有)；
④三點共線共線；
6．相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如
下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。
（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。
（6）若，則。其中正確的是_______
（答：（4）（5））
二．向量的表示方法：
1．幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點在前，終點在後；
2．符號表示法：用乙個小寫的英文本母來表示，如，，等；
3．座標表示法：在平面內建立直角座標系，以與軸、軸方向相同的兩個單位向量，為基底，則平面內的任一向量可表示為，稱為向量的座標，＝叫做向量的座標表示。如果向量的起點在原點，那麼向量的座標與向量的終點座標相同。
三．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對該平面內的任一向量a，有且只有一對實數、，使a=e1＋e2。如
（1）若，則______
（答：）；
（2）下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是
a. b.
c. d.
（答：b）；
（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_____
（答：）；
（4）已知中，點在邊上，且，，則的值是___
（答：0）
四．實數與向量的積：實數與向量的積是乙個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當》0時， 的方向與的方向相同，當<0時， 的方向與的方向相反，當＝0時，，注意： ≠0。
五．平面向量的數量積：
1．兩個向量的夾角：對於非零向量，，作，
稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
2．平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作： ，即＝。
規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是乙個實數，不再是乙個向量。如
（1）△abc中，，，，則_________
（答：－9）；
（2）已知，與的夾角為，則等於____
（答：1）；
（3）已知，則等於____
（答：）；
（4）已知是兩個非零向量，且，則的夾角為____
（答：）
3．在上的投影為，它是乙個實數，但不一定大於0。如
已知，，且，則向量在向量上的投影為______
（答：）
4． 的幾何意義：數量積等於的模與在上的投影的積。
5．向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
①；②當，同向時， ＝，特別地，；當與反向時， ＝－；當為銳角時， ＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當為鈍角時， ＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
③非零向量，夾角的計算公式：；④。如
（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值範圍是______
（答：或且）；
（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值範圍是_________
（答：）；
（3）已知與之間有關係式，①用表示；②求的最小值，並求此時與的夾角的大小
（答：①；②最小值為，）
六．向量的運算：
1．幾何運算：
①向量加法：利用「平行四邊形法則」進行，但「平行四邊形法則」只適用於不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用「三角形法則」：設，那麼向量叫做與的和，即；
②向量的減法：用「三角形法則」：設，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如
（1）化簡
（答：①；②；③）；
（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____
（答：）；
（3）若o是所在平面內一點，且滿足，則的形狀為____
（答：直角三角形）；
（4）若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則的值為___
（答：2）；
（5）若點是的外心，且，則的內角為____
（答：）；
2．座標運算：設，則：
①向量的加減法運算：，。如
（1）已知點，，若，則當＝____時，點p在第
一、三象限的角平分線上
（答：）；
（2）已知，，則
（答：或）；
（3）已知作用在點的三個力，則合力的終點座標是
（答：（9,1））
②實數與向量的積：。
③若，則，即乙個向量的座標等於表示這個向量的有向線段的終點座標減去起點座標。如
設，且，，則c、d的座標分別是
（答：）；
④平面向量數量積：。如
已知向量＝（sinx，cosx）,＝（sinx，sinx）,＝（－1，0）。（1）若x＝，求向量、的夾角；（2）若x∈，函式的最大值為，求的值
（答：或）；
⑤向量的模：。如
已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼＝_____
（答：）；
⑥兩點間的距離：若，則。如
如圖，在平面斜座標系中，，平面上任一點p關於斜座標系的斜座標是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則p點斜座標為。（1）若點p的斜座標為（2，－2），求p到o的距離｜po｜；（2）求以o為圓心，1為半徑的圓在斜座標系中的方程。
（答：（1）2；（2））；
七．向量的運算律：
1．交換律：，，；
2．結合律：，；
3．分配律：，。
如下列命題中：①；②；③
；④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______
（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量運算和實數運算有類似的地方也有區別：對於乙個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以乙個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以乙個向量，但不能兩邊同除以乙個向量，即兩邊不能約去乙個向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的「乘法」不滿足結合律，即，為什麼？
八．向量平行(共線)的充要條件： ＝0。如
(1)若向量，當＝_____時與共線且方向相同
（答：2）；
（2）已知，，，且，則x＝______
（答：4）；
（3）設，則k＝_____時，a,b,c共線
（答：－2或11）
九．向量垂直的充要條件： .特別地。如
(1)已知，若，則
（答：）；
（2）以原點o和a(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形oab，，則點b的座標是________
（答：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知向量，且，則的座標是________
（答：）
十．線段的定比分點：
1．定比分點的概念：設點p是直線pp上異於p、p的任意一點，若存在乙個實數，使，則叫做點p分有向線段所成的比，p點叫做有向線段的以定比為的定比分點；
2．的符號與分點p的位置之間的關係：當p點**段 pp上時》0；當p點**段 pp的延長線上時<－1；當p點**段pp的延長線上時；若點p分有向線段所成的比為，則點p分有向線段所成的比為。如
若點分所成的比為，則分所成的比為_______
（答：）
3．線段的定比分點公式：設、，分有向線段所成的比為，則，特別地，當＝1時，就得到線段pp的中點公式。在使用定比分點的座標公式時，應明確，、的意義，即分別為分點，起點，終點的座標。
在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，並根據這些點確定對應的定比。如
（1）若m（-3，-2），n（6，-1），且，則點p的座標為_______
（答：）；
（2）已知，直線與線段交於，且，則等於_______
（答：２或－４）
十一．平移公式：如果點按向量平移至，則；曲線按向量平移得曲線.注意：（1）函式按向量平移與平常「左加右減」有何聯絡？（2）向量平移具有座標不變性，可別忘了啊！如
（1）按向量把平移到，則按向量把點平移到點______
（答：（－８，３））；
（2）函式的圖象按向量平移後，所得函式的解析式是，則＝________
（答：）
12、向量中一些常用的結論：
（1）乙個封閉圖形首尾連線而成的向量和為零向量，要注意運用；
（2），特別地，當同向或有
；當反向或有；當不共線 (這些和實數比較類似).
（3）在中，①若，則其重心的座標為。如
若⊿abc的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），則⊿abc的重心的座標為_______
（答：）；
②為的重心，特別地為的重心；
③為的垂心；
④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
⑤的內心；
（3）若p分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則，特別地為的中點；
（4）向量中三終點共線存在實數使得且.如
平面直角座標系中，為座標原點，已知兩點, ,若點滿足,其中且,則點的軌跡是_______
（答：直線ab）
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