平面向量的綜合運用
平陽鰲江中學梅山該
[設計立意及思路]
《考試說明》指出：「數學學科的考試，按照『考查基礎知識的同時，注重考查能力』的原則」，且「對數學知識的考查，要全面而又突出重點，注意學科內在聯絡和知識間的綜合，……學科內在的聯絡，包括各部分知識在發展過程中的縱向聯絡，以及各部分之間的橫向聯絡，知識的綜合性，則是從學科整體高度考慮問題，在知識網路的交匯處設計試題。」
由於向量融形、數於一體，具有幾何形式與代數形式的「雙重身份」，使它成為了中學數學知識的乙個重要交匯點，成為聯絡眾多知識內容的媒介。所以，向量成為了「在知識網路交匯處設計試題」的很好載體。從2023年至2023年的高考新課程卷來看，對向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內容相結合，在知識交匯點處命題，既是當今高考的熱點，又是重點，如2023年高考福建卷第17題、遼寧卷第19題、全國卷ⅱ第21題等。
因此，研究向量與其它內容的綜合運用，對培養學生的能力（尤其是培養學生從學科整體的高度解決問題的綜合能力），把握當今高考命題改革趨勢，有著重要的意義。
本專題將在回顧和梳理基礎知識的基礎上，突出平面向量與其他知識的綜合運用，滲透用向量解決問題的思想方法，從而提高學生分析問題與綜合運用知識解決問題的能力，使學生站在新的高度來認識和理解向量。
[高考考點回顧]
一、2023年考綱回放：
1、理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。
2、掌握向量的加法與減法。
3、掌握實數與向量積，理解兩個向量共線的充要條件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的座標的概念，掌握平面向量的座標運算。
5、掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。
6、掌握平面兩點間的距離方式，掌握線段的定比分點和中點公式，並且能熟練運用，掌握平移公式。
二、高考考點回顧：
在高考試題中，對平面向量的考查主要有四個方面：
其一是主要考查平面向量的概念、性質和運算法則，理解和運用其直觀的幾何意義，並能正確地進行計算，如2023年浙江省卷第14題，2023年全國高考ⅰ理科第3題，2023年全國高考ⅱ理科第14題，2023年湖北高考理科解答題中的第19題。
其二考查向量座標表示，向量的線性運算，如2023年全國高考ⅱ理科第9題，2023年廣東高考第1題，2023年上海高考文科第6題等。
其三是和其他知識結合在一起，在知識的交匯點設計試題，考查向量與學科知識間綜合運用能力，如在2023年全國新課程卷上出現了與數列相結合的題目，2023年福建高考第17題（與三角函式結合），2023年全國卷ⅱ理第21題（與解析幾何結合）等；
其四是考查以向量為工具，即構造向量解決有關數量問題，如2023年重慶卷理科第21題（解析幾何題）可借助向量垂直的充要條件進行求解等。
[基礎知識梳理]
ⅰ、平面向量知識結構表
ⅱ、內容概述
1、向量的概念
向量是區別於數量的一種量，它由大小和方向兩個因素確定，向量有三種表示法：一是用有向線段，二是用字母a或，三是用座標a＝（x , y）。注意共線向量（也稱平行向量，方向相同或相反的向量）與相等向量（方向相同且模相等）的聯絡與區別。
2、向量的運算
向量的運算有加法、減法、數乘向量和向量的數量積四種。注意前三種向量運算的幾何表示和四種運算的座標表示、運算律。
3、平面向量的定理及相關性質
（1）兩個非零向量平行的充要條件：
a∥b a＝λb (∈r)
設a＝(x1,y1),b＝ (x2,y2)
則a∥b x1y2－x2y1＝0
（2）兩個非零向量垂直的充要條件：
a⊥b a·b ＝0
設a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)
則a⊥b x1·x2＋y1·y2＝0
（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2使 a＝λ1e1＋λ2e2.
（4）三點共線定理：平面上三點a、b、c共線的充要條件是：存在實數α、β，使，其中α＋β＝1,o為平面內的任一點。
4、 常用公式及結論
a、向量模的公式：設＝（x,y）,則︱︱＝
b、兩點間的距離公式：
＝ [p1(x1,y1),p2(x2,y2)]
c、線段的定比分點座標公式：
d、中點座標公式或[m（x0 ,y0）是線段ab中點]
e、兩向量的夾角公式：
cosθ＝[0°≤θ≤180°,a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)]
f、圖形平移公式：
若點p(x,y)按向量a＝(h,k)平移至(,),
則g、有關向量模的常用結論：①②
③, [例題講解]
型別ⅰ、平面向量學科內綜合運用
此類題經常出現在選擇題與填空題中，主要考查平面向量的有關概念與性質，要求考生深刻理解平面向量的相關概念，能熟練進行向量的各種運算，熟悉常用公式及結論，理解並掌握兩向量共線、垂直的充要條件。
例1．已知a＝（5，4），b＝（3，2），則與2a－3b平行的單位向量為________。
[點撥] 與乙個非零向量a共線的單位向量有兩個：與a同向的單位向量e1＝，與a反向的單位向量e2＝－.求與已知向量平行的向量常用座標運算。
[解析] 法一：∵2a－3b＝2(5，4)－3（3，2）＝（1，2）
法二：令e=(x, y)
∵2a－3b＝（1，2），且e與2a－3b平行，
∴x－2y＝0.① 又∵x2＋y2＝1②
由①②解得.
[變式] 已知b是a＝（－3，4）垂直，且＝15，求b. [（12，9）或（－12，－9）]
例2．已知＝1，＝1，a與b的夾角為60°，x＝2a－b,y＝3b－a，則x與y的夾角是多少？
[點撥] 要計算x與y的夾角，需求出，，x·y的值,可利用2＝x2求解。
[解析] 由已知＝＝1，a與b的夾角為60°, 得 a·b＝··cosα＝
∵2＝x2=（2a－b）2＝4a2－4a·b＋b2＝4－4×＋1＝3，
2＝y2=（3b－a）2＝9b2－6a·b＋a2＝9－6×＋1＝7,
x·y＝（2a－b）·(3b－a) ＝7a·b－2a2－3b2＝－，
又∵x·y＝··cosα，即－＝·cosα
∴cosα＝－，α＝π－arccos.
[變式1] （2023年高考浙江卷）已知平面上三點a、b、c滿足＝3,＝4,＝5,則的值等於25]
[變式2] 已知＝，＝2，a和b的夾角為45°，求使向量a＋λb與λa＋b的夾角是銳角時λ的取值範圍。[λ＜或λ＞（λ≠1）]
型別ⅱ、平面向量與函式、不等式、三角函式、數列的綜合運用
當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關於該未知數的關係式。在此基礎上，可以設計出有關函式、不等式、三角函式、數列的綜合問題。此類題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：
①利用向量平行或垂直的充要條件，
②利用向量數量積的公式和性質.
例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(,).
(1) 若存在實數k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，試求函式的關係式k＝f(t)；
(2) 根據(1)的結論，確定k＝f(t)的單調區間。
[解析]（1）法一：由題意知x＝(,),
y＝(t－k， t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0。
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3) 2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的單調遞減區間是(－1, 1 )，單調遞增區間是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
[歸納] 第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法：一是先利用向量的座標運算分別求得兩個向量的座標，再利用向量垂直的充要條件；二是直接利用向量的垂直的充要條件，其過程要用到向量的數量積公式及求模公式，達到同樣的求解目的（但運算過程大大簡化，值得注意）。第2問中求函式的極值運用的是求導的方法，這是新舊知識交匯點處的綜合運用。
[變式1] 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不為零的實數k和角α，使向量＝＋(sinα－3),＝－k＋(sinα),且⊥，試求實數k 的取值範圍。
[點撥] 將例題中的t略加改動，舊題新掘，出現了意想不到的效果，很好地考查了向量與三角函式綜合運用能力。
[解析] 仿例3（1）解法（二）可得
k＝( sinα－)2－,而－1≤sinα≤1,
∴當sinα＝－1時，k取最大值1； sinα＝1時，k取最小值－.
又∵k≠0 ∴k的取值範圍為.
[變式2] 已知向量＝(x,x－4)，向量＝(x2, x), x∈[－4,2].(1)試用x表示·；[2]求·的最大值，並求此時·夾角的大小。
[(1)·＝x3＋x2－6x , (2)最大值為10，此時x=－2,θ＝arccos]
5 平面向量的應用 平移
5.8 平移 向量a 與平移到某位置的新向量b 的關係 平移 設f 是座標平面內的乙個圖形，將f 上所有點按照同一方向，移動同樣長度，得到圖形這一過程叫圖形的平移 位置變，大小 形狀不變 在圖形平移過程中，每一點都是按照同一方向移動同樣的長度 其一，平移所遵循的 長度 和 方向 正是向量的兩個本質特...
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