綜合檢測(五)
1．求矩陣m＝的特徵值和特徵向量．
【解】 矩陣m的特徵多項式
f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6)．
令f(λ)＝0，解得矩陣m的特徵值λ1＝－1，λ2＝6.將λ1＝－1代入方程組
易求得為屬於λ1＝－1的乙個特徵向量．將λ2＝6代入方程組易求得為屬於λ2＝6的乙個特徵向量．綜上所述，m＝的特徵值為λ1＝－1，λ2＝6，屬於λ1＝－1的乙個特徵向量為，屬於λ2＝6的乙個特徵向量為.
2．已知矩陣m＝的乙個特徵值為3，求另乙個特徵值及其對應的乙個特徵向量．
【解】 矩陣m的特徵多項式為
f(λ)＝＝(λ－1)(λ－x)－4
因為λ1＝3為方程f(λ)＝0的一根，所以x＝1
由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，
設λ2＝－1對應的乙個特徵向量為α＝，
則由得x＝－y
令x＝1，則y＝－1.
所以矩陣m的另乙個特徵值為－1，對應的乙個特徵向量為α＝.
3．已知矩陣m＝，向量α＝，β＝.
(1)求向量2α＋3β在矩陣m表示的變換作用下的象；
(2)向量γ＝是矩陣m的特徵向量嗎？為什麼？
【解】 (1)因為2α＋3β＝2＋3＝，所以m(2α＋3β)＝＝，所以向量2α＋3β在矩陣m表示的變換作用下的象為.
(2)向量γ＝不是矩陣m的特徵向量．理由如下：mγ＝＝，向量與向量γ＝不共線，所以向量γ＝不是矩陣m的特徵向量．
4．已知矩陣a＝，設向量β＝，試計算a5β的值．
【解】 矩陣a的特徵多項式為f(λ)＝＝λ2－5λ＋6＝0，
解得λ1＝2，λ2＝3.
當λ1＝2時，得α1＝；
當λ2＝3時，
得α2＝，
由β＝mα1＋nα2，
得，得m＝3，n＝1，
∴a5β＝a5(3α1＋α2)
＝3(a5α1)＋a5α2
＝3(λα1)＋λα2
＝3×25＋35＝.
5．已知矩陣a＝，其中a∈r，若點p(1,1)在矩陣a的變換下得到點p′(0，－3)
(1)求實數a的值；
(2)求矩陣a的特徵值及特徵向量．
【解】 (1)∵＝，
∴＝，∴a＝－4.
(2)∵a＝，
∴f(λ)＝＝λ2－2λ－3.
令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，
對於特徵值λ1＝－1，解相應的線性方程組得乙個非零解，
因此α1＝是矩陣a的屬於特徵值λ1＝－1的乙個特徵向量．
對於特徵值λ2＝3，解相應的線性方程組得乙個非零解，
因此α2＝是矩陣a的屬於特徵值λ2＝3的乙個特徵向量．∴矩陣a的特徵值為λ1＝－1，λ2＝3，
屬於特徵值λ1＝－1，λ2＝3的特徵向量分別為，.
6．已知矩陣a＝，若矩陣a屬於特徵值6的乙個特徵向量α1＝，屬於特徵值1的乙個特徵向量α2＝，求矩陣a，並寫出a的逆矩陣．
【解】 由矩陣a屬於特徵值6的乙個特徵向量α1＝，可知＝6，所以c＋d＝6
由矩陣a屬於特徵值1的乙個特徵向量α2＝，
可知＝，所以3c－2d＝－2. ②
聯立①②可得
解得即a＝，a的逆矩陣a－1＝.
7．已知矩陣a對應的變換是先將某平面圖形上的點的橫座標保持不變，縱座標變為原來的2倍，再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90°.
(1)求矩陣a及a的逆矩陣b；
(2)已知矩陣m＝，求m的特徵值和特徵向量；
(3)若α＝在矩陣b的作用下變換為β，求m50β.(結果用指數式表示)
【解】 (1)a＝＝；
b＝a－1＝.
(2)設m的特徵值為λ，
則由條件得＝0，
即(λ－3)(λ－4)－6＝λ2－7λ＋6＝0.
解得λ1＝1，λ2＝6.
當λ1＝1時，
由＝，得m屬於1的特徵向量為α1＝；
當λ2＝6時，由＝6，
得m屬於6的特徵向量為α2＝.
(3)由bα＝β，
得β＝＝，
設＝mα1＋nα2＝m＋n
＝，則由
解得所以β＝－α1＋2α2.
所以m50β＝m50(－α1＋2α2)
＝－m50α1＋2m50α2
＝－＋2×650×
＝.8．已知二階矩陣m的乙個特徵值λ＝8及與其對應的乙個特徵向量α1＝，並且矩陣m對應的變換將點(－1,2)變換成(－2,4)．
(1)求矩陣m；
(2)求矩陣m的另乙個特徵值及與其對應的另乙個特徵向量α2的座標之間的關係；
(3)求直線l：x－y＋1＝0在矩陣m的作用下的直線l′的方程．
【解】 (1)設矩陣m＝，
則＝8＝，故
由題意得＝，
故聯立以上兩方程組可解得
故m＝.
(2)由(1)知矩陣m的特徵多項式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16.令f(λ)＝0，解得矩陣m的另乙個特徵值λ＝2.設矩陣m的屬於特徵值2的乙個特徵向量α2＝，則mα2＝＝2，解得2x＋y＝0.
(3)設點(x，y)是直線l上的任一點，其在矩陣m的作用下對應的點的座標為(x′，y′)，則＝，即代入直線l的方程並化簡得x′－y′＋2＝0，即直線l′的方程為x－y＋2＝0.
9．給定矩陣m＝，n＝及向量α1＝，α2＝.
(1)求證m和n互為逆矩陣；
(2)求證α1和α2都是矩陣m的特徵向量．
【證明】 (1)因為mn＝＝，nm＝＝，所以m和n互為逆矩陣．
(2)向量α1＝在矩陣m的作用下，其象與其共線，
即＝＝，向量α2＝在矩陣m的作用下，其象與其共線，即＝，所以α1和α2都是m的特徵向量．
10．給定矩陣m＝及向量α＝.
(1)求矩陣m的特徵值及與其對應的特徵向量α1，α2；
(2)確定實數a，b，使向量α可以表示為α＝aα1＋bα2；
(3)利用(2)中的表示式計算m3α，mnα；
(4)從(3)中的運算結果，你能發現什麼？
【解】 (1)矩陣m的特徵多項式f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－30＝(λ－7)(λ＋4)．令f(λ)＝0，解得矩陣m的特徵值λ1＝－4，λ2＝7.易求得屬於特徵值λ1＝－4的乙個特徵向量α1＝，屬於特徵值λ2＝7的乙個特徵向量α2＝.
(2)由(1)可知＝a＋b，解得a＝1，b＝3，所以α＝α1＋3α2.
(3)m3α＝m3(α1＋3α2)＝m3α1＋3m3α2＝
(－4)3×＋3×73×
＝.mnα＝mn(α1＋3α2)
＝mnα1＋3mnα2
＝(－4)n×＋3×7n×
＝.(4)在mnα的結果中，隨著n的增加，特徵向量α1對結果的影響越來越小．
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