第二講平面向量的解題技巧
【命題趨向】
由2023年高考題分析可知：
1．這部分內容高考中所佔分數一般在10分左右．
2．題目型別為乙個選擇或填空題，乙個與其他知識綜合的解答題．
3．考查內容以向量的概念、運算、數量積和模的運算為主．
【考點透視】
「平面向量」是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現，試題多以低、中檔題為主．
透析高考試題，知命題熱點為：
1．向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實數與向量的積．
2．平面向量的座標運算，平面向量的數量積及其幾何意義．
3．兩非零向量平行、垂直的充要條件．
4．圖形平移、線段的定比分點座標公式．
5．由於向量具有「數」與「形」雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經常與數列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合，綜合解決三角函式的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等．
6．利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的座標運算方面轉化，向量模的運算轉化為向量的運算等；利用數形結合思想將幾何問題代數化，通過代數運算解決幾何問題．
【例題解析】
[, ]
[, , ]
[, , ]
[, , ]
[, , ]
[, , , , , , ]
[, , ]
例1（2023年北京卷理）已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那麼（ ）
命題意圖:本題考查能夠結合圖形進行向量計算的能力．
解： 故選a．
例2．（2023年安徽卷）在中，，m為bc的中點，則______.（用表示）
命題意圖: 本題主要考查[, , , ]
解：，，所以,.
例3．（2023年廣東卷）如圖1所示，d是△abc的邊ab上的中點，則向量( )
（a） （b）
（cd）
命題意圖: 本題主要考查[, ]
解：，故選a.
例4． ( 2023年重慶卷)與向量=的夾解相等，且模為1的向量是 ( )
(ab)或
（cd）或
命題意圖: 本題主要考查[, ]
解：設所求[, ]由
另一方面,當
當[, ]與向量=的夾角相等.故選b.
例5．（2023年天津卷）設向量與的夾角為，且，，則__．
命題意圖: 本題主要考查[, , , ]
解: 例6.（2023年湖北卷）已知向量，是不平行於軸的單位向量，且，則= （）
（ab） （c） （d）
命題意圖: 本題主要考查應用[, , , ]
解:設，則依題意有
故選b.
例7.設平面向量、、的和.如果向量、、，滿足，且順時針旋轉後與同向，其中，則（ ）
（ab）
（cd）
命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.
常規解法：∵，∴故把2 (i=1,2,3)，分別按順時針旋轉30後與重合，故，應選d.
巧妙解法：令=，則=，由題意知=，從而排除b，c，同理排除a，故選(d).
點評：巧妙解法巧在取=，使問題簡單化.本題也可通過畫圖,利用數形結合的方法來解決.
2. 平面向量與三角函式,解析幾何等問題結合
(1) 平面向量與三角函式、三角變換、數列、不等式及其他代數問題，由於結合性強，因而綜合能力較強，所以複習時，通過解題過程，力爭達到既回顧知識要點，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點是運用向量知識，將所給問題轉化為代數問題求解.
(2)解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強，難度大.
例8．（2023年陝西卷理17.）設函式f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈r,且函式y=f(x)的圖象經過點，
（ⅰ）求實數m的值；
（ⅱ）求函式f(x)的最小值及此時x的值的集合.
解：（ⅰ），
由已知，得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
當時，的最小值為，
由，得值的集合為
例2．（2023年陝西卷文17）
設函式.其中向量.
求實數的值; （ⅱ）求函式的最小值.
解：（ⅰ），，得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，當時，的最小值為．
例9．（2023年湖北卷理16）
已知的面積為，且滿足，設和的夾角為．
（）求的取值範圍；
（）求函式的最大
解：（ⅰ）設中角的對邊分別為，
則由，，可得，．
（ⅱ）．
，，．即當時，；當時，．
例10．（2023年廣東卷理）
已知abc的三個頂點的直角座標分別為a(3,4)、b(0,0)、ｃ(c,0)
（1）若c=5，求sin∠a的值；（2）若∠a為鈍角，求c的取值範圍；
解：（1），，若c=5， 則，
∴，∴sin∠a＝；
（2）∠a為鈍角，則解得，∴c的取值範圍是
例11．（2023年山東卷文17）
在中，角的對邊分別為．
（1）求；（2）若，且，求．
解：（1） 又
解得． ，是銳角． ．
（2 又
．．例12. （2023年湖北卷）設函式，其中向量,
.（ⅰ）求函式的最大值和最小正週期；
（ⅱ）將函式的影象按向量平移，使平移後得到的影象關於座標原點成中心對稱，求長度最小的.
命題意圖:本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函式的性質及影象的基本知識，考查推理和運算能力.
解：(ⅰ)由題意得，f(x)＝·()=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx)
sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值為2+，最小正週期是＝.
（ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝,k∈z，
於是＝（，－2），k∈z.
因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時＝（―，―2）即為所求.
例13．（2023年全國卷ii）已知向量＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（ⅰ）若⊥，求θ；
（ⅱ）求｜＋｜的最大值．
命題意圖:本小題主要考查平面向量數量積和平面向量的模的計算方法、以及三角公式、三角函式的性質等基本知識，考查推理和運算能力.
解：（ⅰ）若⊥，則sinθ＋cosθ＝0，
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；
（ⅱ）由＝(sinθ，1)，＝(1，cosθ)得
｜＋｜＝＝
＝，當sin(θ＋)＝1時，|a＋b|取得最大值，即當θ＝時，|a＋b|最大值為＋1．
例14．（2023年陝西卷）如圖，三定點三動點d、e、m滿足
（i）求動直線de斜率的變化範圍；
（ii）求動點m的軌跡方程。
命題意圖:本小題主要考查平面向量的計算方法、三角公式、
三角函式的性質及影象和圓錐曲線方程的求法等基本知識，
考查推理和運算能力.
解法一: 如圖, (ⅰ)設d(x0,y0),e(xe,ye),m(x,y).由=t, = t ,
知(xd－2,yd－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 .
∴kde = = = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kde∈[－1,1].
(ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2ty= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求軌跡方程為: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (ⅰ)同上.
(ⅱ) 如圖t = + t(－) = (1－t) +t,
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t,
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 .
設m點的座標為(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求軌跡方程為: x2=4y, x∈[－2,2]
例15．（2023年全國卷ii）已知拋物線x2＝4y的焦點為f，a、b是拋物線上的兩動點，且＝λ（λ＞0）．過a、b兩點分別作拋物線的切線，設其交點為ｍ．
（ⅰ）證明·為定值；
（ⅱ）設△abm的面積為s，寫出s＝f(λ)的表示式，並求s的最小值．
命題意圖:本小題主要考查平面向量的計算方法、和圓錐曲線方程,以及函式的導數的應用等基本知識，考查推理和運算能力.
解：(ⅰ)由已知條件，得f(0，1)，λ＞0．
設a(x1，y1)，b(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
將①式兩邊平方並把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
拋物線方程為y＝x2，求導得y′＝x．
所以過拋物線上a、b兩點的切線方程分別是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出兩條切線的交點m的座標為(，)＝(，－1)．
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0.
所以·為定值，其值為0．
(ⅱ)由(ⅰ)知在△abm中，fm⊥ab，因而s＝|ab||fm|．
|fm|＝＝＝＝＝＋．
平面向量解題技巧
1.三角函式的性質 影象及其變換,主要是的性質 影象及變換.考查三角函式的概念 奇偶性 週期性 單調性 有界性 影象的平移和對稱等.以選擇題或填空題或解答題形式出現,屬中低檔題,這些試題對三角函式單一的性質考查較少,一道題所涉及的三角函式性質在兩個或兩個以上,考查的知識點 於教材.2.三角變換.主要...
高考數學解題技巧
高考數學解題技巧 12種方法 方法一 調理大腦思緒，提前進入數學情境 考前要摒棄雜念，排除干擾思緒，使大腦處於 空白 狀態，創設數學情境，進而醞釀數學思維，提前進入 角色 通過清點用具 暗示重要知識和方法 提醒常見解題誤區和自己易出現的錯誤等，進行針對性的自我安慰，從而減輕壓力，輕裝上陣，穩定情緒 ...
高中數學解題技巧複習教案2平面向量
第二講平面向量 考點透視 平面向量 是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題 填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現，試題多以低 中檔題為主 透析高考試題，知命題熱點為 1 向量的概念，幾何表示，向量的加法 減法，實數與向量的積 2 平面向量的座標運算，平面向量的數量積及其...