【編者按】平面向量是高中數學考試的必考內容，而且是這幾年考試解答題的必選，無
論是期中、期末還是會考、高考，都是高中數學的必考內容之一。因此，馬博士教育網
數學頻道編輯部特意針對這部分的內容和題型總結歸納了具體的解題技巧和方法，希望
能夠幫助到高中的同學們，讓同學們有更多、更好、更快的方法解決數學問題。好了，
下面就請同學們跟我們一起來**下平面向量的經典解題技巧。
首先，解答平面向量這方面的問題時，先要搞清楚以下幾個方面的基本概念性問題，
同學們應該先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解決問題：
1． 平面向量的實際背景及基本概念
（1） 了解向量的實際背景。
（2） 理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義。
（3） 理解向量的幾何意義。
2． 向量的線性運算
（1） 掌握向量加法、減法的運算，並理解其幾何意義。
（2） 掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義。
（3） 了解向量線性運算的性質及其幾何意義。
3． 平面向量的基本定理及座標表示
（1） 了解平面向量的基本定理及其意義。
（2） 掌握平面向量的正交分解及其座標表示。
（3） 會用座標表示平面向量的加法、減法與數乘運算。
（4） 理解用座標表示的平面向量共線的條件。
4． 平面向量的數量積
（1） 理解平面向量數量積的含義及其物理意義。
（2） 了解平面向量的數量積與向量投影的關係。
（3） 掌握數量積的座標表示式，會進行平面向量數量積的運算。
（4） 能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直
關係。5. 向量的應用
（1） 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題。
（2） 會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題。
好了，搞清楚平面向量的上述內容之後，下面我們就看下針對這方面內容的具體的
解題技巧。
一、向量的有關概念及運算
考情聚焦：1．向量的有關概念及運算，在近幾年的高考中年年都會出現。
2．該類問題多數是單獨命題，考查有關概念及其基本運算；有時作為一種數學工具，在解答題中與其他知識點交匯在一起考查。
3．多以選擇、填空題的形式出現，有關會滲透在解答題中。
解題技巧：向量的有關概念及運算要注意以下幾點：
（1）正確理解相等向量、共線向量、相反向量、單位向量、零向量等基本概念，如有遺漏，則會出現錯誤。
（2）正確理解平面向量的運算律，一定要牢固掌握、理解深刻
（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解題的基礎，除了用向量的加減法、實數與向量乘積外，還要充分利用平面幾何的一些定理，充分聯絡其他知識。
例1：（2010·山東高考理科·ｔ12）定義平面向量之間的一種運算「⊙」如下，對任意的，，令⊙，下面說法錯誤的是（ ）
a.若與共線，則b
c.對任意的，有d. (⊙)2
【命題立意】本題在平面向量的基礎上，加以創新，屬創新題型，考查平面向量的基礎知識以及分析問題、解決問題的能力.
【思路點撥】根據所給定義逐個驗證.
【規範解答】選b，若與共線，則有⊙，故a正確；因為⊙ ,，而⊙，所以有⊙ ⊙ ，故選項b錯誤，故選b.
【方法技巧】自定義型資訊題
1、基本特點：該類問題的特點是背景新穎，資訊量大，是近幾年高考的熱點題型.
2、基本對策：解答這類問題時，要通過聯想模擬，仔細分析題目中所提供的命題，找出其中的相似性和一致性
二、與平面向量數量積有關的問題
考情聚焦：1．與平面向量數量積有關的問題（如向量共線、垂直及夾角等問題）是高考考查的重點。
2．該類問題多數是單獨命題，有時與其他知識交匯命題，考查學生分析問題、解決問題的能力。
3．多以選擇題、填空題的形式出現，有時會滲透在解答題中。
解題技巧：與平面向量數量積有關的問題
1．解決垂直問題：均為非零向量。這一條件不能忽視。
2．求長度問題：，特別地。
3．求夾角問題：求兩非零向量夾角的依據
例2：1.（2010·湖南高考理科·ｔ4）在中，=90°ac=4，則等於（ ）
a、-16b、-8c、8d、16
【命題立意】以直角三角形為依託，考查平面向量的數量積，基底的選擇和平面向量基本定理.
【思路點撥】由於=90，因此選向量ca，cb為基底.
【規範解答】選d .=(cb-ca)·(-ca)=-cb·ca+ca2=16.
【方法技巧】平面向量的考查常常有兩條路：一是考查加減法，平行四邊形法則和三角形法則，平面向量共線定理.二是考查數量積，平面向量基本定理，考查垂直，夾角和距離（長度）.
2. （2010·廣東高考文科·ｔ5）若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x)滿足條件(8—)·=30，則x=( )
a．6b．5c．4d．3
【命題立意】本題考察向量的座標運算及向量的數量積運算.
【思路點撥】 先算出，再由向量的數量積列出方程，從而求出
【規範解答】選. ，所以
. 即：，解得： ，故選.
三、向量與三角函式的綜合
考情聚集：1．向量與三角函式相結合是高考的重要考查內容，在近幾年的高考中，年年都會出現。
2．這類問題一般比較綜合，考查綜合應用知識分析問題、解決問題的能力。一般向量為具，考查三角恒等變換及三角函式的性質等。
3．多以解答題的形式出現。
例3．在直角座標系
（i）若；
（ii）若向量共線，當
【解析】（1） …………2分
又解得 ………………4分
或 …………6分
（ii8分
…………10分
………………12分
注：向量與三角函式的綜合，實質上是借助向量的工具性。（1）解決這類問題的基本思路方法是將向量轉化為代數運算；（2）常用到向量的數乘、向量的代數運算，以及數形結合的思路。
例4．（2010·重慶高考理科·ｔ2）已知向量，滿足，則（ ）
a．0b． c．4 d．8
【命題立意】本小題考查向量的基礎知識、數量積的運算及性質，考查向量運算的幾何意義，考查數形結合的思想方法.
【思路點撥】根據公式進行計算，或數形結合法，根據向量的
三角形法則、平行四邊形法則求解.
【規範解答】選b （方法一）
；（方法二）數形結合法：由條件知，以向量
，為鄰邊的平行四邊形為矩形，又因為，所以，
則是邊長為2的正方形的一條對角線確定的向量，其長度為，如圖所示.
【方法技巧】方法一：靈活應用公式，
方法二：熟記向量及向量和的三角形法則
例5．（2010·全國高考卷ⅱ理科·ｔ8）△abc中，點d在
邊ab上，cd平分∠acb，若= ,
= , ， 則=（ ）
（a）+ （bc）+ （d） +
【命題立意】本題考查了平面向量基本定理及三角形法則的知識。
【思路點撥】運用平面向量三角形法則解決。由角平分線性質知db:ad= cb:ca =1:2
這樣可以用向量, 表示。
【規範解答】 選b，由題意得ad:db=ac；cb=2:1,ad=ab,所以++
+【方法技巧】角平分線性質、平面向量基本定理及三角形法則
例6．（2010·浙江高考文科·ｔ13）已知平面向量則的值是 。
【命題立意】本題主要考察了平面向量的四則運算及其幾何意義，屬中檔題。
【思路點撥】本題先把垂直關係轉化為數量積為0，再利用向量求模公式求解。
【規範解答】由題意可知，結合，解得，
所以2=，開方可知答案為.
【答案】
【方法技巧】（1）；（2）。
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