七、反證法
與前面所講的方法不同，反證法是屬於「間接證明法」一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設而否定結論，從而匯出矛盾推理而得。法國數學家阿達瑪(hadamard)對反證法的實質作過概括：
「若肯定定理的假設而否定其結論，就會導致矛盾」。具體地講，反證法就是從否定命題的結論入手，並把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明。
反證法所依據的是邏輯思維規律中的「矛盾律」和「排中律」。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有乙個是假的，這就是邏輯思維中的「矛盾律」；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說「a或者非a」，這就是邏輯思維中的「排中律」。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據「矛盾律」，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題都是真的，所以「否定的結論」必為假。
再根據「排中律」，結論與「否定的結論」這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，於是我們得到原結論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規律和理論為依據的，反證法是可信的。[**:
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反證法的證題模式可以簡要的概括我為「否定→推理→否定」。即從否定結論開始，經過正確無誤的推理導致邏輯矛盾，達到新的否定，可以認為反證法的基本思想就是「否定之否定」。應用反證法證明的主要三步是：
否定結論 → 推導出矛盾 → 結論成立。實施的具體步驟是：
第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；
第二步，歸謬：將反設作為條件，並由此通過一系列的正確推理匯出矛盾；
第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。
在應用反證法證題時，一定要用到「反設」進行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那麼只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫「歸謬法」；如果結論的方面情況有多種，那麼必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結論成立，這種證法又叫「窮舉法」。
在數學解題中經常使用反證法，牛頓曾經說過：「反證法是數學家最精當的**之一」。一般來講，反證法常用來證明的題型有：
命題的結論以「否定形式」、「至少」或「至多」、「唯一」、「無限」形式出現的命題；或者否定結論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結論入手進行反面思考，問題可能解決得十分乾脆。
ⅰ、再現性題組：[**
1. 已知函式f(x)在其定義域內是減函式，則方程f(x)＝0 ______。
a.至多乙個實根 b.至少乙個實根 c.乙個實根 d.無實根
2. 已知a<0,－1a. a>ab> ab b. ab>ab>a c. ab>a> ab d. ab> ab>a
3. 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b為異面直線，則_____。[**:學科網zxxk]
a. a、b都與l相交b. a、b中至少一條與l相交
c. a、b中至多有一條與l相交 d. a、b都與l相交
4. 四面體頂點和各稜的中點共10個，在其中取4個不共面的點，不同的取法有_____。(97年全國理)
a. 150種 b. 147種 c. 144種 d. 141種
【簡解】1小題：從結論入手，假設四個選擇項逐一成立，匯出其中三個與特例矛盾，選a；
2小題：採用「特殊值法」，取a＝－1、b＝－0.5，選d；
3小題：從逐一假設選擇項成立著手分析，選b；[**:學科網zxxk]
4小題：分析清楚結論的幾種情況，列式是：c－c×4－3－6,選d。
sc ao
bⅱ、示範性題組：
例1. 如圖，設sa、sb是圓錐so的兩條母線，o是底面圓心，c是sb上一點。求證：ac與平面sob不垂直。[**:學#科#網z#x#x#k]
【分析】結論是「不垂直」，呈「否定性」，考慮使用反證法，即假設「垂直」後再匯出矛盾後，再肯定「不垂直」。
【證明】 假設ac⊥平面sob，
∵ 直線so在平面sob內， ∴ ac⊥so，
∵ so⊥底面圓o， ∴ so⊥ab，[**:學*科*網z*x*x*k]
∴ so⊥平面sab， ∴平面sab∥底面圓o，
這顯然出現矛盾，所以假設不成立。
即ac與平面sob不垂直。
【注】否定性的問題常用反證法。例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾。
例2. 若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0， x＋(a－1)x＋a＝0, x＋2ax－2a＝0至少有乙個方程有實根。試求實數a的取值範圍。
【分析】 三個方程至少有乙個方程有實根的反面情況僅有一種：三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的範圍，再所得範圍的補集就是正面情況的答案。
【解】 設三個方程均無實根，則有：
,解得,即－所以當a≥－1或a≤－時，三個方程至少有乙個方程有實根。
【注】「至少」、「至多」問題經常從反面考慮，有可能使情況變得簡單。本題還用到了「判別式法」、「補集法」（全集r），也可以從正面直接求解，即分別求出三個方程有實根時（△≥0）a的取值範圍，再將三個範圍並起來，即求集合的並集。兩種解法，要求對不等式解集的交、並、補概念和運算理解透徹。
例3. 給定實數a，a≠0且a≠1，設函式y＝(其中x∈r且x≠)，證明：①.
經過這個函式影象上任意兩個不同點的直線不平行於x軸； ②.這個函式的影象關於直線y＝x成軸對稱影象。(88年全國理)。
【分析】「不平行」的否定是「平行」，假設「平行」後得出矛盾從而推翻假設。
【證明】 ① 設m (x,y)、m (x,y)是函式影象上任意兩個不同的點，則x≠x,
假設直線mm平行於x軸，則必有y＝y，即＝，整理得a(x－x)＝x－x
∵x≠x ∴ a＝1， 這與已知「a≠1」矛盾，
因此假設不對，即直線mm不平行於x軸。
② 由y＝得axy－y＝x－1,即(ay－1)x＝y－1,所以x＝，
即原函式y＝的反函式為y＝，影象一致。
由互為反函式的兩個影象關於直線y＝x對稱可以得到，函式y＝的影象關於直線y＝x成軸對稱影象。
【注】對於「不平行」的否定性結論使用反證法，在假設「平行」的情況下，容易得到一些性質，經過正確無誤的推理，匯出與已知a≠1互相矛盾。第②問中，對稱問題使用反函式對稱性進行研究，方法比較巧妙，要求對反函式求法和性質運用熟練。[**
ⅲ、鞏固性題組：
1. 已知f(x)＝，求證：當x≠x時，f(x)≠f(x)。[**
2. 已知非零實數a、b、c成等差數列，a≠c，求證：、、不可能成等差數列。[**:學科網]
3. 已知f(x)＝x＋px＋q，求證：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有乙個不小於。
4. 求證：拋物線y＝－1上不存在關於直線x＋y＝0對稱的兩點。
5. 已知a、b∈r，且|a|＋|b|<1，求證：方程x＋ax＋b＝0的兩個根的絕對值均小於1。
afdb m nec
6. 兩個互相垂直的正方形如圖所示，m、n在相應對角線上，且有em＝**，求證：mn不可能垂直cf。
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