二、換元法
解數學題時，把某個式子看成乙個整體，用乙個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究物件，將問題移至新物件的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯絡起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯絡起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。
它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函式、數列、三角等問題中有廣泛的應用。
換元的方法有：區域性換元、三角換元、均值換元等。區域性換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用乙個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現。
例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設2＝t（t>0），而變為熟悉的一元二次不等式求解和指數方程的問題。
三角換元，應用於去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯絡進行換元。如求函式y＝＋的值域時，易發現x∈[0,1]，設x＝sinα ，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函式值域。為什麼會想到如此設，其中主要應該是發現值域的聯絡，又有去根號的需要。
如變數x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。
均值換元，如遇到x＋y＝s形式時，設x＝＋t，y＝－t等等。
我們使用換元法時，要遵循有利於運算、有利於標準化的原則，換元後要注重新變數範圍的選取，一定要使新變數範圍對應於原變數的取值範圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和α∈[0,]。
ⅰ、再現性題組：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是
2.設f(x＋1)＝log (4－x) （a>1），則f(x)的值域是
3.已知數列中，a＝－1，a·a＝a－a，則數列通項a**
4.設實數x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值範圍是
5.方程＝3的解是
6.不等式log (2－1) ·log (2－2)〈2的解集是
【簡解】1小題：設sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對稱軸t＝－1，當t＝，y＝＋；[**:z*xx*
2小題：設x＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域為(－∞,log4]；[**:學。科。網]
3小題：已知變形為－＝－1,設b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；
4小題：設x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小題：設3＝y，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小題：設log (2－1)＝y，則y(y＋1)<2，解得－2ⅱ、示範性題組：
例1. 實數x、y滿足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，設s＝x＋y，求＋的值。（93年全國高中數學聯賽題）
【分析】 由s＝x＋y聯想到cosα＋sinα＝1,於是進行三角換元，設代入①式求s和s的值。
【解】設代入①式得： 4s－5s·sinαcosα＝5 [**:學科網zxxk]
解得 s＝；
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴≤≤
∴＋＝＋＝＝
此種解法後面求s最大值和最小值，還可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。這種方法是求函式值域時經常用到的「有界法」。
【另解】 由s＝x＋y，設x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]，
則xy＝±代入①式得：4s±5=5，
移項平方整理得 100t+39s－160s＋100＝0 。
∴ 39s－160s＋100≤0 解得：≤s≤
∴＋＝＋＝＝
【注】 此題第一種解法屬於「三角換元法」，主要是利用已知條件s＝x＋y與三角公式cosα＋sinα＝1的聯絡而聯想和發現用三角換元，將代數問題轉化為三角函式值域問題。第二種解法屬於「均值換元法」，主要是由等式s＝x＋y而按照均值換元的思路，設x＝＋t、y＝－t，減少了元的個數，問題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種方法：
有界法、不等式性質法、分離引數法。
和「均值換元法」類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個變數x、y時，可以設x＝a＋b，y＝a－b，這稱為「和差換元法」，換元後有可能簡化代數式。本題設x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,]，所以s＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。
例2． △abc的三個內角a、b、c滿足：a＋c＝2b，＋＝－，求cos的值。（96年全國理）
【分析】 由已知「a＋c＝2b」和「三角形內角和等於180°」的性質，可得；由「a＋c＝120°」進行均值換元，則設，再代入可求cosα即cos。
【解】由△abc中已知a＋c＝2b，可得,
由a＋c＝120°，設，代入已知等式得2,
解得：cosα＝， 即：cos＝。
【另解】由a＋c＝2b，得a＋c＝120°，b＝60°。所以＋＝－
＝－2，設＝－＋m，＝－－m ，
所以cosa＝，cosc＝，兩式分別相加、相減得：
cosa＋cosc＝2coscos＝cos＝，
cosa－cosc＝－2sinsin＝－sin＝，
即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。
【注】 本題兩種解法由「a＋c＝120°」、「＋＝－2」分別進行均值換元，隨後結合三角形角的關係與三角公式進行運算，除由已知想到均值換元外，還要求對三角公式的運用相當熟練。假如未想到進行均值換元，也可由三角運算直接解出：由a＋c＝2b，得a＋c＝120°，b＝60°。
所以＋＝－＝－2，即cosa＋cosc＝－2cosacosc，和積互化得：
2coscos＝－[cos(a+c)＋cos(a-c)，即cos＝－cos(a-c)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,
解得：cos＝
yx例3. 設a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小值。
【解】 設sinx＋cosx＝t，則t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝
∴ f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋（a>0），t∈[-,]
t＝-時，取最小值：－2a－2a－
當2a≥時，t＝，取最大值：－2a＋2a－ ；[**
當0<2a≤時，t＝2a，取最大值： 。
∴ f(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為。
【注】 此題屬於區域性換元法，設sinx＋cosx＝t後，抓住sinx＋cosx與sinx·cosx的內在聯絡，將三角函式的值域問題轉化為二次函式在閉區間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的引數的範圍（t∈[-,]）與sinx＋cosx對應，否則將會出錯。本題解法中還包含了含參問題時分類討論的數學思想方法，即由對稱軸與閉區間的位置關係而確定引數分兩種情況進行討論。
一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值和最小值的題型時，即函式為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經常用到這樣設元的換元法，轉化為在閉區間上的二次函式或一次函式的研究。
例4. 設對所於有實數x，不等式xlog＋2x log＋log>0恆成立，求a的取值範圍。（87年全國理）
【分析】不等式中log、 log、log三項有何聯絡？進行對數式的有關變形後不難發現，再實施換元法。
【解】 設log＝t，則log＝log＝3＋log＝3－log＝3－t，log＝2log＝－2t，
代入後原不等式簡化為（3－t）x＋2tx－2t>0，它對一切實數x恆成立，所以：
，解得 ∴ t<0即log<0
0<<1，解得0【注】應用區域性換元法，起到了化繁為簡、化難為易的作用。為什麼會想到換元及如何設元，關鍵是發現已知不等式中log、 log、log三項之間的聯絡。在解決不等式恆成立問題時，使用了「判別式法」。
另外，本題還要求對數運算十分熟練。一般地，解指數與對數的不等式、方程，有可能使用區域性換元法，換元時也可能要對所給的已知條件進行適當變形，發現它們的聯絡而實施換元，這是我們思考解法時要注意的一點。
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
【解】 設＝＝k，則sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k (x+y)＝1,代入②式得即：＋＝
設＝t，則t＋＝, 解得：t＝3或 ∴＝±或±[**:學。科。網z。x。x。k]
【另解】 由＝＝tgθ，將等式②兩邊同時除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，設tgθ＝t，則3t—10t＋3＝0，[**
∴t＝3或， 解得＝±或±。
【注】 第一種解法由＝而進行等量代換，進行換元，減少了變數的個數。第二種解法將已知變形為＝，不難發現進行結果為tgθ，再進行換元和變形。兩種解法要求代數變形比較熟練。
在解高次方程時，都使用了換元法使方程次數降低。
例6. 實數x、y滿足＋＝1，若x＋y－k>0恆成立，求k的範圍。
【分析】由已知條件＋＝1，可以發現它與a＋b＝1有相似之處，於是實施三角換元。
【解】由＋＝1，設＝cosθ，＝sinθ，
即： 代入不等式x＋y－k>0得：[**:學_科_網z_x_x_k]
3cosθ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5時不等式恆成立。
【注】本題進行三角換元，將代數問題（或者是解析幾何問題）化為了含參三角不等式恆成立的問題，再運用「分離引數法」轉化為三角函式的值域問題，從而求出引數範圍。一般地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數式時，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有關問題時，經常使用「三角換元法」。
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