直利教育2023年秋季
名師培優一對一教案
第10講
解析幾何高考題綜合突破
1、．(2013江西，理20)(本小題滿分13分)如圖，橢圓c： (a>b>0)經過點p，離心率e＝，直線l的方程為x＝4.
(1)求橢圓c的方程；
(2)ab是經過右焦點f的任一弦(不經過點p)，設直線ab與直線l相交於點m，記pa，pb，pm的斜率分別為k1，k2，k3.問：是否存在常數λ，使得k1＋k2＝λk3？
若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．
解：(1)由p在橢圓上得，，①
依題設知a＝2c，則b2＝3c2，②
②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.
故橢圓c的方程為.
(2)方法一：由題意可設ab的斜率為k，
則直線ab的方程為y＝k(x－1)，③
代入橢圓方程3x2＋4y2＝12並整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有
x1＋x2＝，x1x2＝，④
在方程③中令x＝4得，m的座標為(4,3k)．
從而，，.
注意到a，f，b共線，則有k＝kaf＝kbf，即有.
所以k1＋k2＝
.⑤④代入⑤得k1＋k2＝＝2k－1，
又k3＝，所以k1＋k2＝2k3.
故存在常數λ＝2符合題意．
(2)方法二：設b(x0，y0)(x0≠1)，則直線fb的方程為：，
令x＝4，求得m，
從而直線pm的斜率為.
聯立得a，
則直線pa的斜率為：，直線pb的斜率為：，
所以k1＋k2＝＝2k3，
故存在常數λ＝2符合題意．
20、（本題滿分13分）
已知橢圓經過點，且橢圓的離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓於點及，設線段，的中點分別為．求證：直線恆過乙個定點．
解：(1)由，得，即，即． …1分
由橢圓過點知，． ……2分
聯立（1）、（2）式解得。故橢圓的方程是． ……4分
(2)直線恆過乙個定點． ……5分
證明橢圓的右焦點為，分兩種情況．
1°當直線的斜率不存在時，:，則:．由橢圓的通徑易得，又，此時直線恆過乙個定點6分
2°當直線的斜率存在時，設:，則：．
又設點．聯立方程組
消去並化簡得，
所以．．．
由題知，直線的斜率為，同理可得點． …………8分
．， ………11分
即．令，解得．
故直線恆過乙個定點；綜上可知，直線恆過乙個定點． …13分
20．已知橢圓c：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的乙個端點構成正三角形.
（1）求橢圓c的標準方程；
（2）設f為橢圓c的左焦點，t為直線上任意一點，過f作tf的垂線交橢圓c於點p，q.
（i）證明：ot平分線段pq（其中o為座標原點）；
（ii）當最小時，求點t的座標.
解析幾何新題型的解題技巧
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