解析幾何新題型的解題技巧
【例題解析】
考點1.求引數的值
求引數的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質入手,構造方程解之.
例1．（2023年安徽卷）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）
ab． cd．
考查意圖: 本題主要考查拋物線、橢圓的標準方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質.
解答過程：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選d.
考點2. 求線段的長
求線段的長也是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質入手,找出點的座標,利用距離公式解之.
例2．（2023年全國卷ii）已知△abc的頂點b、c在橢圓＋y2＝1上，頂點a是橢圓的乙個焦點，且橢圓的另外乙個焦點在bc邊上，則△abc的周長是（ ）
a．2b．6c．4 d．12
考查意圖: 本題主要考查橢圓的性質和距離公式的應用.
解答過程：由橢圓方程＋y2＝1知
故選c.
例3．（2023年四川卷）如圖，把橢圓的長軸
分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部
分於七個點，是橢圓的乙個焦點，
則考查意圖: 本題主要考查橢圓的性質和距離公式的靈活應用.
解答過程：由橢圓的方程知
∴故填35.
考點3. 曲線的離心率
曲線的離心率是高考題中的熱點題型之一,其解法為充分利用:
(1)橢圓的離心率e＝∈(0,1) (e越大則橢圓越扁);
(2) 雙曲線的離心率e＝∈(1, ＋∞) (e越大則雙曲線開口越大).
結合有關知識來解題.
例4．（2023年福建卷）已知雙曲線的右焦點為f，若過點f且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有乙個交點，則此雙曲線離心率的取值範圍是 （ ）
a． b． c． d．
考查意圖: 本題主要考查雙曲線的離心率e＝∈(1, ＋∞)的有關知識.
解答過程：
例5．（2023年廣東卷）已知雙曲線,則雙曲線右支上的點p到右焦點的距離與點p到右準線的距離之比等於（ ）
a. b. c. 2 d.4
考查意圖: 本題主要考查雙曲線的性質和離心率e＝∈(1, ＋∞) 的有關知識的應用能力.
解答過程：依題意可知．
考點4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考題中的熱點題型之一.其解法為轉化為二次函式問題或利用不等式求最大(小)值:特別是,一些題目還需要應用曲線的幾何意義來解答.
例6．(2023年山東卷)已知拋物線y2=4x,過點p(4,0)的直線與拋物線相交於a(x1,y1),b(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是
考查意圖: 本題主要考查直線與拋物線的位置關係，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:設過點p(4,0)的直線為
故填32.
考點5 圓錐曲線的基本概念和性質
圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統一性，都是考試的重點內容，要能夠熟練運用；常用的解題技巧要熟記於心.
例7．已知p是橢圓上的點，是橢圓的兩個焦點，且，求的面積.
解答過程：依題意得：，在中由餘弦定理得
＝，解之得：，則的面積為.
小結：（1）圓錐曲線定義的應用在求解圓錐曲線問題中的作用舉足輕重；
（2）求解圓錐曲線上的點與其焦點圍成的三角形問題中，正、餘弦定理非常重要.
例8．已知動點p到兩個定點、的距離之差為，
（1）求點p的軌跡方程；
（2）對於x軸上的點m，若滿足，則稱點m為點p對應的「比例點」，求證：對任意乙個確定的點p，它總有兩個比例點.
解答過程：（1）因為、且，
所以，點p的軌跡是以a,b為兩焦點，實軸長為8的雙曲線的右支，
且，則，
則點p的軌跡方程是：
（2）設，，雙曲線的離心率，
因為，由焦半徑公式和距離公式得：
＝，整理得：，
因，則方程有兩個不等實根，
即對於點p它總對應兩個比例點.
小結：（1）應用圓錐曲線定義時，要注意其限制條件，在橢圓中，；在雙曲線中且注意差的絕對值，若無絕對值，則曲線為雙曲線的一支；
（2）焦半徑公式在計算中非常方便，但雙曲線的焦半徑不要求記憶，可以利用定義進行轉化；
（3）求解對應點的個數，通常轉化為方程解的個數，這時，判別式就非常重要.
例9．已知橢圓，ab是它的一條弦，是弦ab的中點，若以點為焦點，橢圓e的右準線為相應準線的雙曲線c和直線ab交於點，若橢圓離心率e和雙曲線離心率之間滿足，求：
（1）橢圓e的離心率；（2）雙曲線c的方程.
解答過程：（1）設a、b座標分別為，
則，，二式相減得：
， 所以，， 則；
（2）橢圓e的右準線為，雙曲線的離心率，
設是雙曲線上任一點，則：
， 兩端平方且將代入得：或，
當時，雙曲線方程為：，不合題意，捨去；
當時，雙曲線方程為：，即為所求.
小結：（1）「點差法」是處理弦的中點與斜率問題的常用方法；
（2）求解圓錐曲線時，若有焦點、準線，則通常會用到第二定義.
考點6 利用向量求曲線方程
利用向量給出題設條件，可以將複雜的題設簡單化，便於理解和計算.
典型例題：
例10．(2023年山東卷）雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y=為c的一條漸近線.
(1)求雙曲線c的方程；
(2)過點p(0,4)的直線，交雙曲線c於a,b兩點，交x軸於q點（q點與c的頂點不重合）.當，且時，求q點的座標.
考查意圖: 本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力,以及運用數形結合思想,方程和轉化的思想解決問題的能力.
解答過程：（ⅰ）設雙曲線方程為,
由橢圓,求得兩焦點為，
對於雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線
解得，雙曲線的方程為
（ⅱ）解法一：
由題意知直線的斜率存在且不等於零.
設的方程：，,則.
,.在雙曲線上， .
同理有：
若則直線過頂點，不合題意.
是二次方程的兩根.
,，此時.
所求的座標為.
解法二：由題意知直線的斜率存在且不等於零
設的方程，，則.
，分的比為.
由定比分點座標公式得
下同解法一
解法三：由題意知直線的斜率存在且不等於零
設的方程：，則.
，.，，，
又，,即.
將代入得.
，否則與漸近線平行...
.解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等於零，設的方程：，,則
,..同理 ..即
又消去y得.
當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，.
由韋達定理有：
代入（*）式得 .
所求q點的座標為.
例11．已知，橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，過其右焦點f作斜率為1的直線交橢圓於a、b兩點，若橢圓上存在一點c，使，
（1）求橢圓的離心率；
（2）若，求這個橢圓的方程.
解答過程：（1）設橢圓方程為，焦距為2c，
則直線ab的方程為，
設，由得：，
則，，因，則，
又點c在橢圓上，則，
整理得：＝，即，
所以.（2）＝＝＝ ＝，
則，，，
橢圓方程為.
小結：（1）利用向量，可將較複雜的a、b、c三點之間的關係用較簡單的形式給出來；
（2）焦點弦的長度的計算，一般都分割成兩段，用定義或焦半徑來求解；
（3）計算複雜是解析幾何的通性，要細心.
考點7 利用向量處理圓錐曲線中的最值問題
利用向量的數量積構造出等式或函式關係，再利用函式求最值的方法求最值，要比只利用解析幾何知識建立等量關係容易.
例12．設橢圓e的中心在座標原點o，焦點在x軸上，離心率為，過點的直線交橢圓e於a、b兩點，且，求當的面積達到最大值時直線和橢圓e的方程.
解答過程：因為橢圓的離心率為，故可設橢圓方程為，直線方程為，
由得：，設，
則…………①
又，故，即…………②
由①②得：，，
則＝，當，即時，面積取最大值，
此時，即，
所以，直線方程為，橢圓方程為.
小結：利用向量的數量積構造等量關係要比利用圓錐曲線的性質構造等量關係容易.
例13．已知，，且， 求的最大值和最小值.
解答過程：設，，，
因為，且，
所以，動點p的軌跡是以a、b為焦點，長軸長為6的橢圓，
橢圓方程為，令，
則＝，當時，取最大值，
當時，取最小值.
小結：利用橢圓的引數方程，可以將複雜的代數運算化為簡單的三角運算.
考點8 利用向量處理圓錐曲線中的取值範圍問題
解析幾何中求變數的範圍，一般情況下最終都轉化成方程是否有解或轉化成求函式的值域問題.
例14．（2023年福建卷） 已知橢圓的左焦點為f，
o為座標原點.
（i）求過點o、f，並且與橢圓的左準線相切的圓的方程；
（ii）設過點f且不與座標軸垂直的直線交橢圓於a、b兩點，
線段ab的垂直平分線與軸交於點g，求點g橫座標的取值範圍.
考查意圖:本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考
查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力.
解答過程：（i）
圓過點o、f，
圓心m在直線上.
設則圓半徑
由得解得
所求圓的方程為
（ii）設直線ab的方程為
代入整理得
直線ab過橢圓的左焦點f，方程有兩個不等實根.
記中點則
的垂直平分線ng的方程為
令得點g橫座標的取值範圍為
例15．已知雙曲線c：，b是右頂點，f是右焦點，點a在x軸正半軸上，且滿足成等比數列，過f作雙曲線c在第
一、三象限的漸近線的垂線，垂足為p，
（1）求證：；
（2）若與雙曲線c的左、右兩支分別相交於點d,e，求雙曲線c的離心率e的取值範圍.
解答過程：（1）因成等比數列，故，即，
直線：，
由，故：，
則：，即；
（或，即）
（2）由，
由得：（或由）
小結：向量的數量積在構造等量關係中的作用舉足輕重，而要運用數量積，必須先恰當地求出各個點的座標.
例16．已知，，，
（1）求點的軌跡c的方程；
（2）若直線與曲線c交於a、b兩點，，且，
試求m的取值範圍.
解答過程：（1）＝，
＝，因，故，
即，故p點的軌跡方程為.
（2）由得：，
設，a、b的中點為
則，，，，
即a、b的中點為，
則線段ab的垂直平分線為：，
將的座標代入，化簡得：，
則由得：，解之得或，
又，所以，
故m的取值範圍是.
小結：求變數的範圍，要注意式子的隱含條件，否則會產生增根現象.
解析幾何新題型的解題技巧
命題趨向 解析幾何例命題趨勢 1.注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關係，此類題大多都屬中 低檔題，以選擇 填空題的形式出現，每年必考 2.考查直線與二次曲線的普通方程，屬低檔題，對稱問題常以選擇題 填空題出現 3.考查圓錐曲線的基礎知識和基本方法的題多以選擇題和填空題的形...
數學幾何解題技巧
初中數學教學中幾何解題思路分析 摘要 平面幾何在初中數學中一直佔據著很重要的位置。而學生在對幾何知識進行學習和掌握的過程中，最重要的乙個部分就是能夠應用到實踐中進行解題。正像美國一位著名的數學家曾經所說過的那樣 數學這門學科，真正的組成部分就是問題和解題，在問題與解題中，解題就是數學的心臟所在。學生...
解析幾何常見題型以及解題技巧2教師
直利教育2014年秋季 名師培優一對一教案 第10講 解析幾何高考題綜合突破 1 2013江西，理20 本小題滿分13分 如圖，橢圓c a b 0 經過點p，離心率e 直線l的方程為x 4.1 求橢圓c的方程 2 ab是經過右焦點f的任一弦 不經過點p 設直線ab與直線l相交於點m，記pa，pb，p...