【命題趨向】
解析幾何例命題趨勢：
1.注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關係，此類題大多都屬中、低檔題，以選擇、填空題的形式出現，每年必考
2.考查直線與二次曲線的普通方程，屬低檔題，對稱問題常以選擇題、填空題出現
3.考查圓錐曲線的基礎知識和基本方法的題多以選擇題和填空題的形式出現，有時會出現有一定靈活性和綜合性較強的題，如求軌跡，與向量結合，與求最值結合，屬中檔題
分值一般在17---22分之間，題型一般為1個選擇題，1個填空題，1個解答題.
【考點透視】
一．直線和圓的方程
1．理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，並能根據條件熟練地求出直線方程．
2．掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據直線的方程判斷兩條直線的位置關係．
3．了解二元一次不等式表示平面區域．
4．了解線性規劃的意義，並會簡單的應用．
5．了解解析幾何的基本思想，了解座標法．
6．掌握圓的標準方程和一般方程，了解引數方程的概念，理解圓的引數方程．
二．圓錐曲線方程
1．掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質．
2．掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質．
3．掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質．
4．了解圓錐曲線的初步應用．
【例題解析】
考點1.求引數的值
求引數的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質入手,構造方程解之.
例1．（2023年安徽卷）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為（ ）
ab． cd．
考查意圖: 本題主要考查拋物線、橢圓的標準方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質.
解答過程：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選d.
考點2. 求線段的長
求線段的長也是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質入手,找出點的座標,利用距離公式解之.
例2．（2023年四川卷文)已知拋物線y-x2+3上存在關於直線x+y=0對稱的相異兩點a、b，則|ab|等於
a.3b.4c.3d.4
考查意圖: 本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關係和距離公式的應用.
解：設直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，
∴，由弦長公式可求出．
故選c例3．（2023年四川卷）如圖，把橢圓的長軸
分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部
分於七個點，是橢圓的乙個焦點，
則考查意圖: 本題主要考查橢圓的性質和距離公式的靈活應用.
解答過程：由橢圓的方程知
∴故填35.
考點3. 曲線的離心率
曲線的離心率是高考題中的熱點題型之一,其解法為充分利用:
(1)橢圓的離心率e＝∈(0,1) (e越大則橢圓越扁);
(2) 雙曲線的離心率e＝∈(1, ＋∞) (e越大則雙曲線開口越大).
結合有關知識來解題.
例4．（2023年全國卷）文（4）理（4）已知雙曲線的離心率為2，焦點是，，則雙曲線方程為
a． b． c． d．
考查意圖:本題主要考查雙曲線的標準方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念.
解答過程：所以故選(a).
小結: 對雙曲線的標準方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念，要注意認真掌握.尤其對雙曲線的焦點位置和雙曲線標準方程中分母大小關係要認真體會.
例5．（2023年廣東卷）已知雙曲線,則雙曲線右支上的點p到右焦點的距離與點p到右準線的距離之比等於（ ）
a. b. c. 2 d.4
考查意圖: 本題主要考查雙曲線的性質和離心率e＝∈(1, ＋∞) 的有關知識的應用能力.
解答過程：依題意可知．
考點4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考題中的熱點題型之一.其解法為轉化為二次函式問題或利用不等式求最大(小)值:特別是,一些題目還需要應用曲線的幾何意義來解答.
例6．(2023年山東卷)已知拋物線y2=4x,過點p(4,0)的直線與拋物線相交於a(x1,y1),b(x2,y2)兩點，則y12+y22的最小值是
考查意圖: 本題主要考查直線與拋物線的位置關係，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:設過點p(4,0)的直線為
故填32.
考點5 圓錐曲線的基本概念和性質
圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統一性，都是考試的重點內容，要能夠熟練運用；常用的解題技巧要熟記於心.
例7．（2023年廣東卷文）
在平面直角座標系xoy中,已知圓心在第二象限、半徑為2的圓c與直線y=x相切於座標原點o.橢圓=1與圓c的乙個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10.
（1）求圓c的方程；
（2）試**圓c上是否存在異於原點的點q，使q到橢圓右焦點f的距離等於線段of的長.若存在，請求出點q的座標；若不存在，請說明理由.
[考查目的]本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．
[解答過程] (1) 設圓c 的圓心為 (m, n)
則解得所求的圓的方程為
(2) 由已知可得 ， ．
橢圓的方程為 , 右焦點為 f( 4, 0) ;
假設存在q點使,
．整理得 ， 代入．
得: , ．
因此不存在符合題意的q點.
例8．（2023年安徽卷理）
如圖,曲線g的方程為.以原點為圓心，以
為半徑的圓分別與曲線g和y軸的正半軸相交於 a 與點b.
直線ab 與 x 軸相交於點c.
（ⅰ）求點 a 的橫座標 a 與點 c 的橫座標c的關係式；
（ⅱ）設曲線g上點d的橫座標為,求證：直線cd的斜率為定值.
[考查目的]本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角座標素中的
兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關係
，考查運算能力與思維能力，綜合分析問題的能力.
[解答過程]（i）由題意知，
因為由於 （1）
由點b（0，t），c（c，0）的座標知，直線bc的方程為
又因點a在直線bc上，故有
將（1）代入上式，得解得.
（ii）因為，所以直線cd的斜率為
，所以直線cd的斜率為定值.
例9．已知橢圓，ab是它的一條弦，是弦ab的中點，若以點為焦點，橢圓e的右準線為相應準線的雙曲線c和直線ab交於點，若橢圓離心率e和雙曲線離心率之間滿足，求：
（1）橢圓e的離心率；（2）雙曲線c的方程.
解答過程：（1）設a、b座標分別為，
則，，二式相減得：
， 所以，， 則；
（2）橢圓e的右準線為，雙曲線的離心率，
設是雙曲線上任一點，則：
， 兩端平方且將代入得：或，
當時，雙曲線方程為：，不合題意，捨去；
當時，雙曲線方程為：，即為所求.
小結：（1）「點差法」是處理弦的中點與斜率問題的常用方法；
（2）求解圓錐曲線時，若有焦點、準線，則通常會用到第二定義.
考點6 利用向量求曲線方程和解決相關問題
利用向量給出題設條件，可以將複雜的題設簡單化，便於理解和計算.
典型例題：
例10．(2023年山東卷）雙曲線c與橢圓有相同的焦點，直線y=為c的一條漸近線.
(1)求雙曲線c的方程；
(2)過點p(0,4)的直線，交雙曲線c於a,b兩點，交x軸於q點（q點與c的頂點不重合）.當，且時，求q點的座標.
考查意圖: 本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力,以及運用數形結合思想,方程和轉化的思想解決問題的能力.
解答過程：（ⅰ）設雙曲線方程為,
由橢圓,求得兩焦點為，
對於雙曲線，又為雙曲線的一條漸近線
解得，雙曲線的方程為
（ⅱ）解法一：
由題意知直線的斜率存在且不等於零.
設的方程：，,則.
,.在雙曲線上， .
同理有：
若則直線過頂點，不合題意.
是二次方程的兩根.
,，此時.
所求的座標為.
解法二：由題意知直線的斜率存在且不等於零
設的方程，，則.
，分的比為.
由定比分點座標公式得
下同解法一
解法三：由題意知直線的斜率存在且不等於零
設的方程：，則.
，.，，，
又，,即.
將代入得.
，否則與漸近線平行...
.解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等於零，設的方程：，,則
,..同理 ..即
又消去y得.
當時，則直線l與雙曲線得漸近線平行，不合題意，.
由韋達定理有：
代入（*）式得 .
所求q點的座標為.
例11．（2023年江西卷理）
設動點p到點a(－l，0)和b(1，0)的距離分別為d1和d2，
∠apb＝2θ,且存在常數λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ．
（1）證明：動點p的軌跡c為雙曲線，並求出c的方程；
（2）過點b作直線交雙曲線c的右支於m、n兩點,試確定λ的範圍,
使·＝0,其中點o為座標原點．
[考查目的]本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．
[解答過程]解法1：（1）在中，，即，
，即（常數），
點的軌跡是以為焦點，實軸長的雙曲線．
方程為：．
（2）設，
①當垂直於軸時，的方程為，，在雙曲線上．
即，因為，所以．
②當不垂直於軸時，設的方程為．
由得：，
由題意知：，所以，．
於是：．
因為，且在雙曲線右支上，所以
．由①②知，．
解法2：（1）同解法1
（2）設，，的中點為．
①當時，，
因為，所以；
②當時，．
又．所以；
由得，由第二定義得
．所以．
於是由得
因為，所以，又，
解得：．由①②知．
考點7 利用向量處理圓錐曲線中的最值問題
利用向量的數量積構造出等式或函式關係，再利用函式求最值的方法求最值，要比只利用解析幾何知識建立等量關係容易.
例12．設橢圓e的中心在座標原點o，焦點在x軸上，離心率為，過點的直線交橢圓e於a、b兩點，且，求當的面積達到最大值時直線和橢圓e的方程.
解答過程：因為橢圓的離心率為，故可設橢圓方程為，直線方程為，
由得：，設，
則…………①
第七講解析幾何新題型的解題技巧
命題趨向 解析幾何例命題趨勢 1.注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關係，此類題大多都屬中 低檔題，以選擇 填空題的形式出現，每年必考 2.考查直線與二次曲線的普通方程，屬低檔題，對稱問題常以選擇題 填空題出現 3.考查圓錐曲線的基礎知識和基本方法的題多以選擇題和填空題的形...
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