平面向量的解題技巧
命題趨向
由2023年高考題分析可知：
1．這部分內容高考中所佔分數一般在10分左右．
2．題目型別為乙個選擇或填空題，乙個與其他知識綜合的解答題．
3．考查內容以向量的概念、運算、數量積和模的運算為主．
考點透視
「平面向量」是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現，試題多以低、中檔題為主．透析高考試題，知命題熱點為：
1．向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實數與向量的積．
2．平面向量的座標運算，平面向量的數量積及其幾何意義．
3．兩非零向量平行、垂直的充要條件．
4．由於向量具有「數」與「形」雙重身份，加之向量的工具性作用，向量經常與數列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合，綜合解決三角函式的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等．
5．利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的座標運算方面轉化，向量模的運算轉化為向量的運算等；利用數形結合思想將幾何問題代數化，通過代數運算解決幾何問題．
例題. 向量的概念，向量的基本運算
(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.
(2)掌握向量的加法和減法.
(3)掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.
(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的座標的概念，掌握平面向量的座標運算.
(5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義,了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.
(6)掌握平面兩點間的距離公式.
1．（2023年北京卷理）已知是所在平面內一點，為邊中點，
且，那麼（ ）
命題意圖:本題考查能夠結合圖形進行向量計算的能力．
解：. 故選a．
2．（2023年安徽卷）在平行四邊形中，，m為bc的中點，則______.（用表示）
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實數與向量的積.
解：由得，，
所以。3．（2023年廣東卷）如圖所示，d是△abc的邊ab上的中點，則向量( )
（a） （b）
（c） （d）
命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運算能力.
解：，故選a.
4.設平面向量、、的和.如果向量、、，滿足，且順時針旋轉後與同向，其中，則（ ）
（a） （b）
（cd）
命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.
常規解法：∵，∴故把2 (i=1,2,3)，分別按順時針旋轉30後與重合，故，應選d.
巧妙解法：令，則，由題意知，從而排除b，c，同理排除a，故選d.
點評：巧妙解法巧在取，使問題簡單化.本題也可通過畫圖,利用數形結合的方法來解決.
二.向量的座標運算
5．( 2023年重慶卷)與向量、的夾角相等，且模為1的向量是 ( )
(ab)或
（cd）或
命題意圖: 本題主要考查平面向量的座標運算和用平面向量處理有關角度的問題.
解：設與向量、的夾角相等，且模為1的向量為，
則解得故或，選b.
6．（2023年天津卷）設向量與的夾角為，且，，
則 _．
命題意圖: 本題主要考查平面向量的座標運算和平面向量的數量積,以及用平面向量的數量積處理有關角度的問題.
解:設，由
得∴時，，故填.
7.（2023年湖北卷）已知向量，是不平行於軸的單位向量，且，則=（ ）
（a） （b） （c） （d）
命題意圖: 本題主要考查應用平面向量的座標運算和平面向量的數量積,以及方程的思想解題的能力.
解:設，則依題意有，故選b.
三. 平面向量與三角函式的結合
(1) 平面向量與三角函式、三角變換、數列、不等式及其他代數問題，由於結合性強，因而綜合能力較強，所以複習時，通過解題過程，力爭達到既回顧知識要點，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點是運用向量知識，將所給問題轉化為代數問題求解.
(2)解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強，難度大.
8．（2023年陝西卷理17.）設函式,其中向量=(m,cos2x),
=(1+sin2x,1),x∈r,且函式y=f(x)的圖象經過點，
（ⅰ）求實數m的值；
（ⅱ）求函式f(x)的最小值及此時x的值的集合.
解：（ⅰ），
由已知，得．
（ⅱ）由（ⅰ）得，
當時，的最小值為，
由，得值的集合為
9．（2023年湖北卷理16）
已知的面積為，且滿足，設和的夾角為．
（i）求的取值範圍；
（ii）求函式的最大值。
解：（ⅰ）設中角的對邊分別為，
則由，，可得，．
（ⅱ）．即當時，；當時，．
10．（2023年廣東卷理）已知的三個頂點的直角座標分別為、、.
（1）若，求的值；（2）若為鈍角，求的取值範圍；
解：（1），，若，則，
（2）為鈍角，則 ，解得，
∴c的取值範圍是。
11.(2023年山東卷文17)在中，角、、的對邊分別為、、，．
（1）求；（2）若，且，求．
解：（1）又， 解得．
，是銳角，．
（2）∵， ， ．
又，，．
．．12.（2023年湖北）設函式，其中向量
（ⅰ）求函式的最大值和最小正週期；
（ⅱ）將函式的影象按向量平移，使平移後得到的影象關於座標原點成中心對稱，求長度最小的.
命題意圖:本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函式的性質及影象的基本知識，考查推理和運算能力.
解：(ⅰ)由題意得，
所以，的最大值為，最小正週期是.
（ⅱ）由得，即，（k∈z）
於是， （k∈z）
因為k為整數，要使最小，則只有k＝1，此時即為所求.
13．（2023年全國卷ii）已知向量，，．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）求的最大值．
命題意圖:本小題主要考查平面向量數量積和平面向量的模的計算方法、以及三角公式、三角函式的性質等基本知識，考查推理和運算能力.
解：（ⅰ）若，則，由此得()，所以；
（ⅱ）由，得
當時，取得最大值，即當時，最大值為．
四. 平面向量與解析幾何的結合
14．（2023年陝西卷）如圖，三定點、、，三動點d、e、m滿足，，，.
（i）求動直線de斜率的變化範圍；
（ii）求動點m的軌跡方程。
命題意圖:本小題主要考查平面向量的計算方法、三角公式、
三角函式的性質及影象和圓錐曲線方程的求法等基
本知識，考查推理和運算能力.
解: 如圖,
(ⅰ) 設,,，則
，，由, 知
∴即同理.
∴∴∴即， ∴.
∵, .
即所求軌跡方程為: ,
15．（2023年全國卷ii）已知拋物線的焦點為f，a、b是拋物線上的兩動點，且
（），過a、b兩點分別作拋物線的切線，設其交點為ｍ．
（ⅰ）證明為定值；
（ⅱ）設△abm的面積為s，寫出的表示式，並求s的最小值．
命題意圖:本小題主要考查平面向量的計算方法、和圓錐曲線方程,以及函式的導數的應用等基本知識，考查推理和運算能力.
解：(ⅰ)由已知條件，得，．
設，，則，．
由，得即
將（1）式兩邊平方並把，代入得 （3）
解（2）（3）式得，，且有，
拋物線方程為，求導得．
所以過拋物線上a、b兩點的切線方程分別是，
即，．解出兩條切線的交點m的座標為即．
∵，所以所以為定值，其值為0．
(ⅱ)由(ⅰ)知在△abm中，fm⊥ab，，，
因而．因為|af|、|bf|分別等於a、b到拋物線準線y＝－1的距離，
所以於是，由知s≥4，且當λ＝1時，s取得最小值4．
2019高考數學解題方法攻略特殊證法理
數學方法之特殊證法 考情分析 近幾年的高考雖然削弱了在不等式證明方面的要求，但像立體幾何中位置關係的認定，數列關係式的認可以及解析幾何性質的證明都是頻頻出現的考試形式。在高考中所佔的分值大約在30分左右。這類考題的特點是 1 立體幾何證明多以線 面間垂直或平行關係的證明為主，解決此類問題的思路是應用...
2019高考數學解題方法攻略導數2理
特級教師高考理數導數題型分析及解題方法總結 一 考試內容 重點 導數的概念，導數的幾何意義，幾種常見函式的導數 兩個函式的和 差 基本導數公式，利用導數研究函式的單調性和極值，函式的最大值和最小值。二 熱點題型分析 題型一 利用導數研究函式的極值 最值。1 在區間上的最大值是 2 2 已知函式處有極...
2019高考理科數學解題方法攻略 抽象函式
化抽象為具體 抽象函式問題轉化方法 抽象函式是指沒有給出函式的具體解析式，但給出了函式滿足的一部分性質或運算法則的函式問題。對考查學生的創新精神 實踐能力和運用數學的能力，有著十分重要的作用。2005高考北京卷 遼寧卷 廣東卷等各有乙個抽象函式解答題，同樣2006高考重慶卷 遼寧卷 安徽卷等也出現抽...