（4）方程在上有且只有乙個實根,與不等價,前者是後者的乙個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有乙個實根在內,等價於,或且,或且
若，，顯然在上沒有零點， 所以
令得當時， 恰有乙個零點在上；
當即時，也恰有乙個零點在上；
當在上有兩個零點時， 則
或解得或
因此的取值範圍是或 ；
二次函式專題
1、 兩根小於2，求a的取值範圍 a<1
2、 兩根大於2，求a的取值範圍
3、 兩根乙個比2大，乙個比2小，求a的取值範圍 a>1
4、 兩根在（-2，3）內，求a的取值範圍
5、 兩根，求a的取值範圍16、 有且只有乙個實根在（-2，1）內，求a的取值範圍
方程在上有且只有乙個實根,與不等價,前者是後者的乙個必要而不是充分條件.特別地, 方程有且只有乙個實根在內,等價於,或且,或且.
7.閉區間上的二次函式的最值
二次函式在閉區間上的最值只能在處及區間的兩端點處取得，具體如下：
(1)當a>0時，若，則；
，，.(2)當a<0時，若，則，若，則，.
8.一元二次方程的實根分布
依據：若，則方程在區間內至少有乙個實根 .
設，則（1）方程在區間內有根的充要條件為或；
（2）方程在區間內有根的充要條件為或或或；
（3）方程在區間內有根的充要條件為或.
9.定區間上含引數的二次不等式恆成立的條件依據
(1)在給定區間的子區間（形如，，不同）上含引數的二次不等式(為引數)恆成立的充要條件是.
(2)在給定區間的子區間上含引數的二次不等式(為引數)恆成立的充要條件是.
(3)恆成立的充要條件是或.
例1已知函式（為實常數），
（1）若，求的單調區間；
（2）若，設在區間的最小值為，求的表示式；
（3）設，若函式在區間上是增函式，求實數的取值範圍．
解析：(1),
∴的單調增區間為()，(-,0) 的單調減區間為(-)，()
(2)由於，當∈[1,2]時，
10 即
20 即
30 即時
綜上可得
(3) 在區間[1,2]上任取、，且
則∵ ∴
∴(*)可轉化為對任意、
即10 當
20 由得解得
30 得
所以實數的取值範圍是
例2設函式f(x)＝x2－2tx＋2，其中t∈r．
(1)若t＝1，求函式f(x)在區間[0，4]上的取值範圍；
(2)若t＝1，且對任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5，求實數a的取值範圍．
(3)若對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8，求t的取值範圍．
解因為f(x)＝x2－2tx＋2＝(x－t)2＋2－t2，所以f(x)在區間(－∞，t]上單調減，在區間[t，∞)上單調增，且對任意的x∈r，都有f(t＋x)＝f(t－x)，
(1)若t＝1，則f(x)＝(x－1)2＋1．
①當x∈[0，1]時．f(x)單調減，從而最大值f(0)＝2，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值範圍為[1，2]；
②當x∈[1，4]時．f(x)單調增，從而最大值f(4)＝10，最小值f(1)＝1．
所以f(x)的取值範圍為[1，10]；
所以f(x)在區間[0，4]上的取值範圍為[1，103分
(2)「對任意的x∈[a，a＋2]，都有f(x)≤5」等價於「在區間[a，a＋2]上，[f(x)]max≤5」．
若t＝1，則f(x)＝(x－1)2＋1，
所以f(x)在區間(－∞，1]上單調減，在區間[1，∞)上單調增．
當1≤a＋1，即a≥0時，
由[f(x)]max＝f(a＋2)＝(a＋1)2＋1≤5，得
－3≤a≤1，
從而0≤a≤1．
當1＞a＋1，即a＜0時，由[f(x)]max＝f(a)＝(a－1)2＋1≤5，得
－1≤a≤3，
從而1≤a＜0．
綜上，a的取值範圍為區間[－1，16分
(3)設函式f(x)在區間[0，4]上的最大值為m，最小值為m，
所以「對任意的x1，x2∈[0，4]，都有|f(x1)－f(x2)|≤8」等價於「m－m≤8」．
①當t≤0時，m＝f(4)＝18－8t，m＝f(0)＝2．
由m－m＝18－8t－2＝16－8t≤8，得t≥1．
從而t∈．
②當0＜t≤2時，m＝f(4)＝18－8t，m＝f(t)＝2－t2．
由m－m＝18－8t－(2－t2)＝t2－8t＋16＝(t－4)2≤8，得
4－2≤t≤4＋2．
從而4－2≤t≤2．
③當2＜t≤4時，m＝f(0)＝2，m＝f(t)＝2－t2．
由m－m＝2－(2－t2)＝t2≤8，得－2≤t≤2．
從而2＜t≤2．
④當t＞4時，m＝f(0)＝2，m＝f(4)＝18－8t．
由m－m＝2－(18－8t)＝8t－16≤8，得t≤3．
從而t∈．
綜上，a的取值範圍為區間[4－2，210分
例3已知定義在上的奇函式，當時，．
（1）求時，的解析式；
（2）問是否存在這樣的正數，當時，，且的值域為？若存在，求出所有的的值，若不存在，請說明理由．
18． 解：（1）設，則，於是，又為奇函式，所以
，即時，；
（2）分下述三種情況：①，那麼，而當時，的最大值為1，故此時不可能使．②若，此時若，則的最大值為，得，這與矛盾；③若，因為時，是單調減函式，此時若，於是有
，考慮到，解得，，綜上所述
例4已知二次函式滿足條件，及．
（1）求函式的解析式；
（2）在區間上，的影象恆在的影象上方，試確定實數的取值範圍；
解：（1）令
∴二次函式影象的對稱軸為．∴可令二次函式的解析式為．
由∴二次函式的解析式為
另解：⑴ 設，則
與已知條件比較得：解之得，又，
…………8分
（2）在上恆成立在上恆成立
令，則在上單調遞減
∴．例5已知函式是偶函式.
（1）求的值；
（2）設函式，其中若函式與的圖象有且只有乙個交點，求的取值範圍
解：（1）∵是偶函式，
∴對任意，恆成立2分
即：恆成立，∴ 5分
（2）由於，所以定義域為，
也就是滿足7分
∵函式與的圖象有且只有乙個交點，
∴方程在上只有一解
即：方程在上只有一解9分
令則，因而等價於關於的方程
（*）在上只有一解10分
1 當時，解得，不合題意11分
2 當時，記，其圖象的對稱軸
∴函式在上遞減，而
∴方程（*）在無解13分
3 當時，記，其圖象的對稱軸
所以，只需，即，此恆成立
∴此時的範圍為15分
綜上所述，所求的取值範圍為16分
鞏固練1．定義在r上的奇函式有三個零點，則下列關係中正確的是（b）
a． b． c． d．以上三種關係都可能成立
2．二次函式是偶函式，它有兩個零點，則=0．
3．函式的零點有（d）
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
4．若函式有零點，則實數的取值範圍是．
5．已知函式，當時，的值有正也有負，則實數的取值範圍是．
6．已知關於的方程的一根大於-2而小於0，另一根大於1而小於3，求實數的值．
解：設，則同時成立，解得．
7.對於函式若則函式在區間內( )
a. 一定有零點b. 一定沒有零點
c. 可能有兩個零點d. 至多有乙個零點
8.若函式在區間(2, 4)內有零點,則下列說法正確的是d )
a. 在區間(2, 3)內有零點b 在區間(3, 4)內有零點
c. 在區間(2, 3)或(3, 4)內有零點 d. 在區間(2, 3]或(3, 4)內有零點
9.函式的零點個數是d )
a. 0 b. 1c. 2 d. 3
二次函式練習題 2012-5-31
班級姓名________
1、在同一直角座標系中與的圖象的大致是( )
2、二次函式的圖象過（－1，5），（1，1）和（3，5）三個點，則二次函式的關係式為（ ）
a. b.
c. d.
3、 方程的實根的個數為（ ）
（a）1b）2c）3d）4
4、的對稱軸是，且經過點．則的值為0 ｃ．1 ｄ．2
5、「」是函式恒為負的（ ）
（a）充分不必要條件b）必要不充分條件
（c）充分且必要條件d）既不充分又不必要條件
6、函式對任意的x均有，那麼、、的大小關係是（ ）
a b c d
7、已知函式在區間[0,m]上有最大值3，最小值2，則m的取值範圍是 ( )
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