與二次函式有關的含有絕對值不等式的證明問題
二次函式是最簡單的非線性函式之一，而且有著豐富的內容，它對近代數仍至現代數學影響深遠，這部分內容為歷年來高考數學考試的一項重點考查內容，經久不衰，以它為核心內容的高考試題，形式上也年年有變化，此類試題常常有絕對值，充分運用絕對值不等式及二次函式、二次方程、二次不等式的聯絡，往往採用直接法，利用絕對值不等式的性質進行適當放縮，常用數形結合，分類討論等數學思想，以下舉例說明。
1．設 ，當時，總有 ，求證當時， .
證明：由於是二次函式， 在上最大值只能是 ，或 ，故只要證明 ；當時，有 ，由題意有 .
由得.. .
當時，. 因此當時， .
點評：從函式性質的角度分析，要證時， ，只要證當時， 的最大值滿足 . 而又是二次函式，不論 、 、 怎麼取值在上的最大值只能是 ，或 ，因而只要證明 ， ，這裡需要特別指出的是要將與建立聯絡，將二次函式中的係數用 、 、 表示：
，然後用含有絕對值不等式的性質，進行適當放縮。
2．已知是實數，函式 ，當時， ，
（1）證明： ；
（2）證明：當時， ；
（3）設 ，當時， 的最大值為2，求 . （2023年全國高考題）
證明：（1）依題設得 ，而所以 .
（2）證法：當時， 在上是增函式。
則時，有 ，又 ,
， ，因此得 .
當時， 在上是減函式，則當時， . 又 ,
， ，因此得 .
當時， ,
綜上可知，當時，都有 .
（3）依題意 ，故在上是增函式，又在上的最大值為2，故 ； ， .
。當時， ，即函式在區間的內點上取得最小值為 ，所以， 是二次函式且它的影象是對稱軸是直線 ，由此得 ，即 .
，故 .
點評：本題運用了賦值法，函式的單調性、二次函式的最小值，含有絕對值不等式的性質等，問題（1）的設定意在降低難度，容易上手，抓住這2分，問題（3）的意義是證明問題（2）中的結論不能改進，從而是精確的，這樣（2）、（3）合在一起構成問題的完整解答。本題的設計背景是：
對於二次函式和一次函式 ，給定條件「當時， 」，則有結論「當時， 」. 更一般地，對於多項式函式和 ，給定件「當時， 」，則有結論「當時， 」.
3、已知二次函式f(x)=ax2+bx+c和一次函式g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈r)
(1)求證兩函式的圖象交於不同的兩點a、b；
(2)求線段ab在x軸上的射影a1b1的長的取值範圍
(1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0
δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0
∴c2>0,∴δ>0,即兩函式的圖象交於不同的兩點
(2)解設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=
|a1b1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0
∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)
∵的對稱軸方程是
∈(－2,－)時，為減函式
∴|a1b1|2∈(3,12),故|a1b1|∈()
4、二次函式f(x)的二次項係數為正，且對任意實數x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)解析由f(2+x)=f(2－x)知x=2為對稱軸，由於距對稱軸較近的點的縱座標較小，
∴|1－2x2－2|＜|1+2x－x2－2|,∴－2＜x＜0
答案－2＜x＜0
5、設f(x)=ax2+bx+c.若f(1)=,問是否存在a,b,c∈r,使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切實數ｘ都成立？證明你的結論
解：令＝x2+，＝2x2+2x
則＝x2+與＝2x2+2x+必相切於點a(-1, )
因為x2+≤f(x)≤2x2+2x+
所以f(x)=ax2+bx+c必過點a(-1, )，再由已知f(1)=，得
從而有f(x)=ax2+x+
再因為x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切實數ｘ都成立，即
對一切實數ｘ都成立
即對一切實數ｘ都成立
，c=1
所以存在a=,b=1,c=1,
即存在f(x)= x2+x+1使得不等式x2+≤f(x)≤2x2+2x+對一切實數ｘ都成立
6、設二次函式(x)=ax2+bx+c(a>0)，方程(x)－x=0的兩個根x1，x2滿足0(ⅰ)當x∈(0,x1)時，證明x<(x)(ⅱ)設函式(x)的圖象關於直線x=x0對稱，證明x0< 。
解題思路：
本題要證明的是x<(x)，(x)(ⅰ)先證明x<(x)，令(x)=(x)-x，因為x1,x2是方程(x)-x=0的根，(x)=ax2+bx+c，所以能(x)=a(x－x1)(x－x2)
因為00,又a＞0,因此(x) ＞0,即(x)-x＞0.至此,證得x<(x)
根據韋達定理,有 x1x2=∵ 0＜x1＜x2<，c=ax1x2(0)，所以當x∈(0,x1)時(x)<(x1)=x1，
即x<(x)(ⅱ) ∵(x)=ax2+bx+c=a（x+－）2+(c－ ),（a>0）
函式(x)的圖象的對稱軸為直線x=－ ,且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－，因為x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－，∵x2－<0，
∴x0=－=（x1+x2－）<,即x0=。
7、二次函式的影象過原點，且，，求的範圍。
分析：設，則
也可以用待定係數法，設
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