數列基礎題型梳理
一、 等差等比數列性質問題
幾個重要的性質：
1、 在等差數列中，若，則有，
特殊的：若，則有（模擬到等比）
2、等差數列的前項和為，則，，……為等差數列，公差為．（模擬到等比數列）
3、為等差數列，為其前項和，則，為等差數列，為其前項和，，．
4、（1）在項數為項的等差數列中，；
（2）在項數為項的等差數列中．
練習題（1）已知為等差數列的前項和，，則
解析：這裡是等差數列的求和問題，等差數列有兩個基本的求和公式sn=n/2(a1+an)=na1+n(n-1)d/2，而從題設中，我們可以很清楚地由等差數的性質得a1+a11=2a6,所以很自然地，我們選用公式s11=11/2(a1+a11)得到答案1100.
（2）若乙個等差數列前3項的和為34，最後三項的和為146，且所有項的和為,則這個數列有項；
解析：從題設中，我們只能知道sn,所以我們只從關於sn的公式中求得n.而對於前3項和和最後三項的和都知道，我們可以利用性質1很快地得出a1+an的值，再利用等差數列的求和公式便能解得n.
前3項和為34，最後三項和為146，所以前3項+最後三項=180。從而可知a1+an=180/3=60.
sn=n(a1+an)/2=390,60n/2=390,n=13.
（3）（2012屆高三一模普陀區理11）已知數列是等比數列，其前項和為，若則
解析：我們從題設中既給出了s10,s20，而且我們所要求的答案又跟s30有關，所以，很自然地，我們會利用性質2模擬到等比數列的情形，設是以q為公比的等比數列，sn表示前n項和，則仍為等比數列,公比為。答案7.
（4）設等比數列的前n 項和為s n= 4 n +m，求得常數m
解析：題設已經給出了sn的表示式，所以我們只要套用求sn的一般公式即可得出題設表示式中m的值。sn=(a1-anq)/(1-q)=4^n+m 化得a1-a1*q^n=(1-q)*m+(1-q)*4^n 得出a1=q-1 所以m=-1
（5）等差數列中，公差d=－2，a 1+a 4+a 7+…+a 97=50，則a 3+a 6+a 9+…+a 99=
解析：a3-a1=a3-a2+a2-a1=-2+（-2）=-4
(a3-a1)+(a6-a4)+(a9-a7)+...+(a99-a97)=-4*33=-132
a3+a6+a9+....a99=-132+50=-82
（6）設是等差數列的前n項和，若
解析：題設只給出我們a3的a5的比例關係,而要求得s9和s5的比例關係,很自然我們會想到把s9的s5用a3,a5進行表示.因s9=9×(a1+a9)/2=9×2a5/2=9a5,同理s5=3a3,故可得答案1.
（7）等差數列和的前n項之和之比為(3n+1)：(2n+3),求。
解析:此題為以上的性質3的知識.,直接套用即可得到答案88/61.
（8）等比數列中，a1最小，，前n項和sn=126，求n和公比q。
解析：a1+a1q^n-1=66 a1qa1q^n-2=128=a1an 所以a1+128/a1=66 a1=2或者64
由a1最小可知a1=64捨去.
故a1=2,則an=64
a1q^(n-1)=64,則q^(n-1)=32
sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2*(1-32q)/(1-q)=126
故可得q=2,n=6
（9）等比數列中，q=2，s99=77，求a3+a6+…+a99；
解析:s99=a1(1-2^99)/(1-2)=77
1-2^99=-77/a1
a3+a6+a9+……+a99=a3(1-8^33)/(1-8)=a3(1-2^99)/(-7)=-77a3/(-7a1)=11a1*2^2/a1
因為a3=a1q^2=a1*2^2
所以-77a3/(-7a1)=11a1*2^2/a1=11*4=44
（10）項數為奇數的等差數列中，奇數項之和為80，偶數項之和為75，求此數列的中間項與項數。
解析:題目是關於奇數項之和與偶數項之和的關係,所以我們第一反應就是利用上述的性質4.
設數列的中間項為x,項數為n 。則：
x·(n-1)/2=75,
x·(n+1)/2=80.
解得：x=5, n=31.
二、等差等比數列的證明問題（常用方法是用定義，有時會用到中項法。給出遞推公式的注意題中的引導提示）
1、數列是不是等差數列有以下三種方法：
①②2()
③(為常數).
2、數列是不是等比數列有以下四種方法：
①②(，)①
③(為非零常數).
④正數列{}成等比的充要條件是數列{}(x≠1)成等比數列.
例題:（1） 數列的前n項和為sn，且滿足an+sn=n. 設bn=an－1，求證：數列是等比數列；
解析: an+sn=n
an+1+sn+1=n+1
an+1-an+an+1=1
a(n+1)-1=0.5(an-1)
即是以a1-1=-0.5為首項 0.5為公比的等比數列
bn=an-1
所以bn為等比數列
注:通常情況下,我們不能直接得出所求數列的具體表示,這時我們往往需要通常構造新數列來求得所求數列的表示.
三、通項公式問題（注意變成遞推形式，再結合對應型別求通項的方法）
（一）、給出求（用公式）；給出關於和的關係（再寫一項，消）最終的目標是an=sn-sn-1.
1、 設數列滿足，求數列的通項公式
解析:a1+3a2+3^2a3+```````+3^(n-1)an=n/3
a1+3a2+3^2a3+```````+3^(n-2)a(n-1)=(n-1)/3
兩式相減得
3^(n-1)an=n/3-(n-1)/3
3^(n-1)an=n/3-n/3+1/3
3^(n-1)an=1/3
3^nan=1
an=1/3^n
2、 設是數列的前項和，，.求的通項；
解析:把an=sn-sn-1代入所給的關係式,再整理,可得1/sn-1/sn-1=2,很明顯,此時我們只需通過構造新的等差數列即可求得sn關於n的表示式.
當n≥3時，有sn^2=an(sn-1/2)=[sn-s(n-1)](sn-1/2)
化簡得2sns(n-1)=-sn+s(n-1)
兩邊同除以sns(n-1)得
1/sn-1/s(n-1)=2 ①
因s2^2=a2(s2-1/2)故(1+a2)^2=a2(1+a2-1/2)解得a2=-2/3，經驗滿足①式。
因s3^2=a3(s3-1/2)故(1-2/3+a3)^2=a3(1-2/3+a3-1/2)解得a3=-2/15，經驗證也滿足①式。
於是對於所有的n≥1，均有①式成立。
於是1/sn是首項為1/s1=1/a1=1，公差為2的等差數列。於是有
1/sn=1+2(n-1)=2n-1
sn=1/(2n-1)
s(n-1)=1/(2n-3)
故當n≥2時，有an=sn-s(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=2/[(2n-1)(2n-3)]
則數量an的通項公式為
a1=1；an=2/[(2n-1)(2n-3)] ，n≥2
（二） 給出遞推公式求通項公式
a、⑴已知關係式，可利用累加法；
例、(虹口區2023年4月高三數學二模文理18) 已知：數列滿足，，則的最小值為（ ）
8765
解析:a(2) - a(1) = 2
a(3) - a(2) = 4
......
a(n+1) - a(n) = 2n
這n個式子相加，就有
a(n+1) = 16 + n(n+1)
即a(n) = n(n-1) + 16 = n^2 - n + 16
a(n)/n = n + 16/n -1
用均值不等式，知道它在n = 4的時候取最小值7。
b、已知關係式，可利用累乘法.
例、已知數列滿足：，求數列的通項公式；
解析:利用上述的累乘公式,可得an/a1=2/(n(n+1)),代入a1=2可得通項公式為an=1/(n(n+1))
c、構造新數列
1°遞推關係形如「」，利用待定係數法求解
例、已知數列中，，求數列的通項公式.
解析:利用待定係數法,設an+1+x=2(an+x)再根據題設所給的我條件解得x=3
a(n+1)= 2 an+3
a(n+1) +3= 2( an+3)
( an+3)是等比數列，公比為2
an+3 = （a1+3）2^( n-1)
an = 4*2^(n-1) - 3
2°遞推關係形如「」，兩邊同除或待定係數法求解
例、，求數列的通項公式.
解析: 由題意得：a（n+1）=2an+3^n
則設a(n+1)+xf(n+1)=2[an+xf(n)]
拆開得，並由題意得：2xf(n)-xf(n+1)=3^n
則解得x=-1,f(n)=3^n,則a(n+1)-3^(n+1)=2[an-3^n]
可以看出為等比數列且公比為2.故可得an-3^n=2^(n-1),則an=2^(n-1)+3^n
3°遞推已知數列中，關係形如「」，利用待定係數法求解
例、已知數列中，，求數列的通項公式
解析:由a(n+2)=3a(n+1)-2an
得 a(n+2)-a(n+1)=2[a(n+1)-an]，
所以，｛a(n+1)-an｝是首項為 1，公比為2的等比數列，
因此，a(n+1)-an=2^(n-11)
an-an-1=2^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=2^(n-3)
數列問題的題型與方法
一 考試內容 數列 等差數列及其通項公式，等差數列前n項和公式 等比數列及其通項公式，等比數列前n項和公式。二 考試要求 1 理解數列的概念，了解數列通項公式的意義，了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項。2 理解等差數列的概念，掌握等差數列的通項公式與前n項和公式，並能...
數列常見題型分析與方法總結
一 等差 等比數列的概念與性質 1 已知等比數列分別是某等差數列的第5項 第3項 第2項，且，求 i 依題意 二 求數列的通項 型別1解法 把原遞推公式轉化為，利用累加法 逐差相加法 求解。例 已知數列滿足，求答案 型別2解法 把原遞推公式轉化為，利用累乘法 逐商相乘法 求解。例 已知數列滿足，求答...
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2019年高考數學答題技巧 數列題型總結與方法 高考數學之數列問題的題型與方法 數列是高中數學的重要內容，又是學習高等數學的基礎。高考對本章的考查比較全面，等差數列，等比數列的考查每年都不會遺漏。有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函式 對數函式和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列...