一、 等差等比數列性質問題
幾個重要的性質：
1、 在等差數列中，若，則有，
特殊的：若，則有（模擬到等比）
2、等差數列的前項和為，則，，……為等差數列，公差為．（模擬到等比數列）
3、為等差數列，為其前項和，則，為等差數列，為其前項和，，．
練習題（1）已知為等差數列的前項和，，則
（2）若乙個等差數列前3項的和為34，最後三項的和為146，且所有項的和為,則這個數列有項；
（3）已知數列是等比數列，其前項和為，若則
（4）設等比數列的前n 項和為s n= 4 n +m，求得常數m
（6）設是等差數列的前n項和，若
（7）等差數列和的前n項之和之比為(3n+1)：(2n+3),求。
（8）等比數列中，a1最小，，前n項和sn=126，求n和公比q。
二、等差等比數列的證明問題（常用方法是用定義，有時會用到中項法。給出遞推公式的注意題中的引導提示）
1、數列是不是等差數列有以下三種方法：
①②2()
③(為常數).
2、數列是不是等比數列有以下四種方法：
①②(，)①
③(為非零常數).
三、通項公式問題（注意變成遞推形式，再結合對應型別求通項的方法）
（一）、給出求（用公式）；給出關於和的關係（再寫一項，消）最終的目標是an=sn-sn-1.
1、 設數列滿足，求數列的通項公式
2、 設是數列的前項和，，.求的通項；
（二） 給出遞推公式求通項公式
a、⑴已知關係式，可利用累加法；
例、(虹口區2023年4月高三數學二模文理18) 已知：數列滿足，，則的最小值為（ ）
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b、已知關係式，可利用累乘法.
例、已知數列滿足：，求數列的通項公式；
c、構造新數列
遞推關係形如「」，利用待定係數法求解
例、已知數列中，，求數列的通項公式.
四、求數列的前n項和
基本方法：
1）公式法，分組求和
1、求數列的前項和.
解析:該數列由等比數列和等差數列組成,所以我們在求前n項和時可以分別求等比數列和等差數列的前n項和,再相加.
利用分組求和得s（n)=[2-2^(n+1)]/(1-2)+n(-1+2n-3)/2
=2^(n+1)+n^2-2n-2
2）裂項相消法，把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然後前後相消
數列的常見拆項有：；；
1、求和：s=1+
2、求和：.
3）倒序相加法:（舉例略）
4）錯位相減法:如果乙個數列是由乙個等差數列與乙個等比數列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數列的公比，然後錯位相減求和．
例求數列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項的和．
五、最值問題
(一)、數列中項的最大或最小問題（結合對應函式的性質，求函式最值，但要注意這裡n是正整數）
1、數列中，，求取最小值時的值.
2、數列中，，求取最大值時的值。（若呢？呢）
3、數列中，，求的最大值
4、數列中，，求數列的最大項和最小項.
二、等差數列前n項和最值問題
例1、已知等差數列中，當且僅當時，前項和取得最大值，則公差的範圍是
例2、在等差數列中，
（1）若，前項和為，且，求當取何值時，最大？並求出它的最大值；
（2）若，則該數列前多少項的和最小？
方法：數列不等式恆成立問題（一般要涉及到求引數範圍，需引數分離，再利用函式思想，討論數列的單調情況，求出數列的最值，若無最值，求出極限，但要注意引數此時要加等號 ）
1、已知關於n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n)>對於一切大於1的自然數n都成立，求a的取值範圍
2、非等比數列中，前n項和，
（1）求數列的通項公式；
（2）設，，是否存在最大的整數m，使得對任意的n均有總成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由。
3、已知函式，數列滿足，,
1. 求證：數列是等差數列；
2.設數列滿足，，若對一切成立，求最小正整數的值.
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