一、直接（或轉化）由等差、等比數列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
例1（07高考山東文18）設是公比大於1的等比數列，為數列的前項和．已知，且構成等差數列．
（1）求數列的等差數列．
（2）令求數列的前項和．
練習：設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
二、錯位相減法
設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列的前項和求解，均可用錯位相減法。
例2（07高考天津理21）在數列中，，其中．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）求數列的前項和；
例3（07高考全國ⅱ文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，
（ⅰ）求，的通項公式；
（ⅱ）求數列的前n項和．
三、逆序相加法
把數列正著寫和倒著寫再相加（即等差數列求和公式的推導過程的推廣）
例4（07豫南五市二聯理22.）設函式的圖象上有兩點p1(x1, y1)、p2(x2, y2)，若,且點p的橫座標為.
（i）求證：p點的縱座標為定值，並求出這個定值；
（ii）若
四、裂項求和法
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1）（2）
（3）等。
例5 求數列的前n項和.
例6（06高考湖北卷理17）已知二次函式的影象經過座標原點，其導函式為，數列的前n項和為，點均在函式的影象上。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；
五、分組求和法
所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併。
例7數列的前n項和，數列滿.
例8求（）
六、利用數列的通項求和
先根據數列的結構及特徵進行分析，找出數列的通項及其特徵，然後再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是乙個重要的方法.
例9 求之和.
例10 已知數列：的值.
型別1解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例11:已知數列滿足，，求。
型別2解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例12:已知數列滿足，，求。
型別3 （其中p，q均為常數，）。
解法（待定係數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例13:已知數列中，，，求.
型別4 （其中p，q均為常數，）。 （,其中p，q, r均為常數） 。
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定係數法解決。
例14:已知數列中，,，求。
型別5遞推公式為與的關係式。(或)
解法：這種型別一般利用與
消去或與消去
進行求解。
例15：已知數列前n項和.（1）求與的關係；（2）求通項公
式.型別6
解法：這種型別一般利用待定係數法構造等比數列，即令
，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。
例16:設數列：，求.
1 解：（1）由已知得解得．
設數列的公比為，由，可得．
又，可知，即，
解得．由題意得．
．故數列的通項為．
（2）由於由（1）得
， 又
是等差數列．
故．解：由等差數列求和公式得， （利用常用公式）
∴ 當，即n＝8時，
2（ⅰ）解：由，，
可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．
（ⅱ）解：設， ①
②當時，①式減去②式，得，．
這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
3解：（ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，．
所以，．
（ⅱ）．
，①，②
②－①得，
．4.（i）∵,且點p的橫座標為.
∴p是的中點，且
由（i）知，
，（1）+（2）得：
5解：設 （裂項
則 （裂項求和
6.解：（ⅰ）設這二次函式f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由於f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因為點均在函式的影象上，所以＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
當n＝1時，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，
故tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.
7.（ⅰ）證明數列為等比數列；（ⅱ）求數列的前n項和tn。
解析：（ⅰ）由，
兩式相減得： ，
同定義知是首項為1，公比為2的等比數列.
（ⅱ）等式左、右兩邊分別相加得：
=8.解：⑴ 當為偶數時，
；⑵ 當為奇數時，
綜上所述，．
9.解：由於找通項及特徵）
∴分組求和）＝＝
＝10解：∵ （找通項及特徵）
設制分組）
＝ （裂項）
∴ （分組、裂項求和）
＝ ＝
11.解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以，12.解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又， 例:已知， ，求。
。13.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且
.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則
,所以.
變式:遞推式：。解法：只需構造數列，消去帶來的差異．
14.解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：所以
15.解：（1）由得：於是
所以.（2）應用型別4（（其中p，q均為常數，））
的方法，上式兩邊同乘以得：由
.於是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
16.解：設，將代入遞推式，得
…（１）則,又，故
代入（１）得
說明：（1）若為的二次式，則可設
;(2)本題也可由
,（）兩式相減得轉化為求之.
數列經典題型總結
一 直接 或轉化 由等差 等比數列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.1 等差數列求和公式 2 等比數列求和公式 例1 07高考山東文18 設是公比大於1的等比數列，為數列的前項和 已知，且構成等差數列 1 求數列的等差數列 2 令求數列的前項和 解 1 由已知得...
數列求和經典題型總結
3 數列求和 數列求和的方法.1 公式法 等差數列的前n項求和公式 等比數列的前n項和求和公式 2 數列的通項公式能夠分解成幾部分，一般用 分組求和法 3 數列的通項公式能夠分解成等差數列和等比數列的乘積，一般用 錯位相減法 4 數列的通項公式是乙個分式結構，一般採用 裂項相消法 5 併項求和法 乙...
高中數列經典題型 大全
高中數學 遞推數列 經典題型全面解析 型別1解法 把原遞推公式轉化為，利用累加法 逐差相加法 求解。例 已知數列滿足，求。型別2解法 把原遞推公式轉化為，利用累乘法 逐商相乘法 求解。例 已知數列滿足，求。例 已知，求。型別3 其中p，q均為常數，例 已知數列中，求.變式 遞推式 解法 只需構造數列...