寒假輔導3 數列重要題型方法分類總結
一、進退相減（除）法
1．數列中，對所有的都有，則
2．已知數列，
則二、數列、不等式、恆成立問題
（1）先求和在放縮
（1）求證＋＋…＋<
於是＋＋…＋＝(1
＝(1－)<.
（2）設bn＝n，求證：bk<
(3)已知等比數列滿足:,.
(i)求數列的通項公式;
(ii)是否存在正整數,使得?若存在,求的最小值;若不存在,說明理由.
【答案】解:(i)由已知條件得:,又,, 所以數列的通項或 (ii)若,,不存在這樣的正整數; 若,,不存在這樣的正整數.
(4)正項數列的前項和滿足:
(1)求數列的通項公式an;
(2)令,數列的前項和為.證明:對於任意的,都有
【答案】(1)解:由,得. 由於是正項數列,所以. 於是時,. 綜上,數列的通項. (2)證明:由於. 則
（2）先放縮在求和
1． 均值不等式法
例1 設求證
解析此數列的通項為，，即
注：①應注意把握放縮的「度」：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過「度」了！
②根據所證不等式的結構特徵來選取所需要的重要不等式，這裡
其中，等的各式及其變式公式均可供選用。
2．利用有用結論
例4 求證
簡析本題可以利用的有用結論主要有：
法1 利用假分數的乙個性質可得 即
法2 利用貝努利不等式的乙個特例(此處)得
（3）恆成立問題
二部分放縮
例9 設求證：
解析又（只將其中乙個變成，進行部分放縮），，
於是6．求證：
已知正項數列的前項和為，且 .
（1）求的值及數列的通項公式；
（2）求證：；
（1）由.
當時，，解得或（捨去）． ……2分
當時，由，
∵，∴，則，
∴是首項為2，公差為2的等差數列，故． ………………4分
（2）證法一：∵
，……4分
∴當時，
.… 7分
當時，不等式左邊顯然成立8分
證法二：∵，∴.
∴.……4分
∴當時，
.……7分
當時，不等式左邊顯然成立. ……8分
設數列的前項和為.已知,,.
(ⅰ) 求的值;
(ⅱ) 求數列的通項公式;
(ⅲ) 證明:對一切正整數,有.
【答案】.(1) 解: ,.
當時, 又, (2)解當時由① — ②,得數列是以首項為,公差為1的等差數列. 當時,上式顯然成立. (3)證明:
由(2)知, ①當時,,原不等式成立. ②當時, ,原不等式亦成立. ③當時, 當時,,原不等式亦成立.
綜上,對一切正整數,有.
7． 已知正項數列滿足且
（1） 求數列的通項；
求證：。
四、存在性問題
8.已知在數列中，，且點在直線上。
（1）求數列的通項公式；
（2）若函式，求函式的最小值。
（3）若表示數列的前項和，試問：是否存在關於的整式，使得對一切的自然數恆成立？若存在，寫出的解析式並證明，若不存在，請說明理由。
（2011無錫期末卷）已知數列的首項，．
（1）求證：數列為等比數列；
（2） 記，若，求最大的正整數．
（3）是否存在互不相等的正整數，使成等差數列，且成等比數列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．
12分 且3分
∴數列為等比數列4分
（2）由（1）可求得，∴．…………… 5分
，…7分
若，則9分
（3）假設存在，則， ………………10分
12分 化簡得13分
∵，當且僅當時等號成立15分
又互不相等，∴不存在16分
9.已知數列首項，公比為的等比數列，又，常數，數列滿足，
（1）求證為等差數列；
（2）若是遞減數列，求的最小值；（參考資料：）
（3）是否存在正整數，使重新排列後成等比數列，若存在，求的值，若不存在，說明理由。
10. （2010南京三模）在直角座標系中，橢圓的左、右焦點分別為、,點為橢圓的左頂點，橢圓上的點在第一象限，,的方程為
（1） 求點座標，並判斷直線與的位置關係；
（2） 是否存在不同於點的定點,對於上任意一點,都有為常數，若存在，求所以滿足條件的點的座標；若不存在，說明理由。
解：（1）由題意知1分
因為，∴數列是首項為，公差的等差數列4分
（2）由（1）知，，，
恆成立，即恆成立，……………6分
因為是遞減函式，
所以，當n=1時取最大值，，……（）
因而，因為，所以8分
（3）記，，
，．9分
①、若是等比中項，則由得
化簡得，解得或（舍），
所以，因而及 ．………11分
②、若是等比中項，則由得化簡得
，顯然不成立．………………13分
③、若是等比中項，則由
得化簡得，因為不是完全不方數，因而，x的值是無理數，顯然不成立．……15分
綜上：存在適合題意。………16分
數列題型與方法
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知識框架 掌握了數列的基本知識，特別是等差 等比數列的定義 通項公式 求和公式及性質，掌握了典型題型的解法和數學思想法的應用，就有可能在高考中順利地解決數列問題。一 典型題的技巧解法 1 求通項公式 1 觀察法。2 由遞推公式求通項。對於由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成...
數列常見題型分析與方法總結
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