第三章數列
一、數列的通項公式：如果數列的第n項an與它的序號n之間的函式關係可以用乙個公式a=f（n）（n∈n+或其有限子集） 來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式 ．數列的項是指數列中乙個確定的數，是函式值，而序號是指數列中項的位置，是自變數的值．由通項公式可知數列的圖象是散點圖 ，點的橫座標是項的序號值 ，縱座標是各項的值 ．不是所有的數列都有通項公式，數列的通項公式在形式上未必唯一．
二、數列的遞推公式：如果已知數列的第一項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-1（或前幾項an-1，an-2，…）間關係可以用乙個公式 an=f（a）（n=2，3，…） （或 an=f（a,a）(n=3，4，5，…)，…）來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式 ．
三、數列的求和公式：設sn表示數列和前n項和，即sn=a1+a2+…+an，如果sn與項數n之間的函式關係可以用乙個公式 sn= f（n）（n=1，2，3，…） 來表示，那麼這個公式叫做這個數列的求和公式 ．
四、通項公式an與求和公式sn的關係：
五、等差數列與等比數列：
六、數列通項公式的十種求法
題型一：應用「公式」求數列通項
例1．（1）已知數列的前項和，求數列的通項公式an.
（2）已知數列的前n項和為，求數列的通項公式.
解析：（1）當，
當又不適合上式，故
（2）當n=1時，當時，
點撥：一般的利用公式求，特別要注意是否合適.
題型二：利用「構造法」求數列的通項
例2. 已知數列的通項公式.
解：，，又因為，所以是首項為2公比為2的等比數列，
所以。點撥：若數列滿足為常數），則令來構造等比數列，並利用對應項相等求的值，求通項公式。
例3.數列中，，則
解： 是以首項為2，公比也為2的等比數列。
所以，故有：
點撥：先構造等比數列，這是化歸思想的具體應用，再用疊加法求出通項公式，當然本題也利用了等比數列求和公式。
例4．已知數列中對於這個數列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式？（必修5教材69頁）
解：，又形成首項為7，公比為3的等比數列，
則又因為，
所以，從而形成了乙個首項為—13，公比為—1的等比數列
則 ①②
點撥：本題是兩次構造等比數列，屬於構造方面比較級，最終用加減消元的方法確定出數列的通項公式。
例5．數列中，若，，則（ ）
abcd．
解： 又是首項為公差3的等差數列。
所以選a
變式題型：數列中，，求
解： 是首項為公比為的等比數列，
點撥：且為一次分式型或構造出倒數成等差數列或構造出倒數加常數成等比數列，發散之後，兩種構造思想相互聯絡,相互滲透，最後融合到一起。
題型三：利用「遞推關係」求數列的通項
例6.根據下列各個數列的首項和遞推關係，求其通項公式
（1）， .
（2）.
解析：（1）兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。
點撥：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求出數列的通項公式。
（2）因為，所以
所以，，
…，…，
以上個式相加得 ：
即： 點撥：在遞推關係中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定係數法或迭代法。
題型四：應用「累加法」求數列的通項
例7.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
點撥：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
例8.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得：，則
所以點撥：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
題型五：應用「累乘法」求數列的通項
例9．(1)已知數列滿足,求數列的通項公式。
(2)已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：(1)依題意得：
,(2)因為，所以，則，故
所以數列的通項公式為
點撥：本題解題的關鍵是把遞推關係轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
題型六：應用「待定係數法」求數列的通項
例10.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
點撥：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
例11.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑥
將代入⑥式，得
整理得。
令，則，代入⑥式得
⑦由及⑦式，
得，則，
故數列是以為首項，以3為公比的等比數列，因此，則。
點撥：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求數列的通項公式。
例12.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：設 ⑧
將代入⑧式，得
，則等式兩邊消去，得，
解方程組，則，代入⑧式，得
⑨由及⑨式，得
則，故數列為以為首項，以2為公比的等比數列，因此，則。
點撥：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
題型七：應用「迭代法」求數列的通項
例13.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：因為，所以
又，所以數列的通項公式為。
題型八：應用「不動點法」求數列的通項
例14.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函式的兩個不動點。因為
。所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，故，則。
點撥：本題解題的關鍵是先求出函式的不動點，即方程的兩個根，進而可推出，從而可知數列為等比數列，再求出數列的通項公式，最後求出數列的通項公式。
例15.已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：令，得，則是函式的不動點。
因為，所以。
點撥：本題解題的關鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關係式轉化形式，從而可知數列為等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
七、數列求和的方法
題型一：利用「公式法」求數列的前n項和
如果乙個數列是等差、等比數列或者是可以轉化為等差、等比數列的數列，我們可以運用等差、等比數列的前n項和的公式來求.
①等差數列求和公式：
②等比數列求和公式：
例1．已知，求的前n項和.
解：由，由等比數列求和公式得
＝＝＝1－
例2.設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得，
∴＝∴ 當，即n＝8時，
題型二：利用「倒序相加法」求數列的前n項和
類似於等差數列的前n項和的公式的推導方法。如果乙個數列，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和，可採用正序寫和與倒序寫和的兩個和式相加，就得到乙個常數列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.
例3.求證：
證明： 設
（反序：把①式右邊倒轉過來）
又由可得
………… ②
①+②得： （反序相加）
∴例4.求的值
解：設…………. ①
…②（反序：把①式右邊倒轉過來）
又因為 ①+②得反序相加）
＝89∴ s＝44.5
例5.已知函式，且；
求的值.
解：由得
兩式相加得： 所以.
點撥：解題時，認真分析對某些前後具有對稱性的數列，可以運用倒序相加法求和.
例6.針對訓練1：求值：
題型三：利用「錯位相減法」求數列的前n項和
類似於等比數列的前n項和的公式的推導方法。若數列各項是由乙個等差數列和乙個等比數列對應項相乘得到，即數列是乙個「差·比」數列，則採用錯位相減法.
若，其中是等差數列，是公比為等比數列，令
則 ，兩式相減並整理即得。
例7.求和
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
∴例8.求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得錯位相減）
∴例9．求和：
解：設制錯位）
由－得錯位相減）
點撥：1、錯位相減法的求解步驟：①在等式兩邊同時乘以等比數列的公比；②將兩個等式相減；③利用等比數列的前n項和的公式求和.
2、若數列是等差數列，是等比數列，則求數列的前項和時，可採用錯位相減法；
3、當等比數列公比為字母時，應對字母是否為1進行討論；
4、當將與相減合併同類項時，注意錯位及未合併項的正負號。
題型四：利用「裂項相消法」求數列的前n項和
把數列的通項拆成兩項之差，即數列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，於是前n項的和變成首尾若干少數項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用於類似（其中是各項不為零的等差數列，為常數）的數列、部分無理數列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：
（1），特別地當時，
（2），特別地當時
（3），
（4），，
（5），
（6）,
（7）,
（8），
（9）．
例10.數列的前項和為，若等於（ b ）
例11.數列的通項公式為，求它的前n項和
高考數學知識點之數列
考試內容 數學探索版權所有數列 數學探索版權所有等差數列及其通項公式 等差數列前n項和公式 數學探索版權所有等比數列及其通項公式 等比數列前n項和公式 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項 ...
高考數學常考知識點之數列
數列考試內容 數學探索版權所有數列 數學探索版權所有等差數列及其通項公式 等差數列前n項和公式 數學探索版權所有等比數列及其通項公式 等比數列前n項和公式 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有理解數列的概念，了解數列通項公式的意義了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾...
數列複習知識點
數列複習小結 導學案 集美中學楊正國 一 學習目標 1 系統掌握數列的有關概念和公式。2 了解數列的通項公式與前n項和公式的關係。3 能通過前n項和公式求出數列的通項公式。二 本章知識結構 三 知識綱要 1 數列的概念，通項公式，數列的分類，從函式的觀點看數列 2 等差 等比數列的定義 3 等差 等...