1、數列的概念
1）數列的前項和與通項的公式①；
2）數列的分類：①遞增數列:對於任何,均有.
②遞減數列:對於任何,均有.③擺動數列:
例如: ④常數數列:例如:
6,6,6,6,…….⑤有界數列:存在正數使.
⑥無界數列:對於任何正數,總有項使得.
2、等差數列
1）通項公式，為首項，為公差。前項和公式或.
2）等差中項：。
3）等差數列的判定方法：⑴定義法：（，是常數）是等差數列；⑵中項法：()是等差數列.
4）等差數列的性質：
⑴數列是等差數列，則數列、（是常數）都是等差數列；
⑵在等差數列中，等距離取出若干項也構成乙個等差數列，即為等差數列，公差為.
⑶；(,是常數)；(,是常數，)
⑷若，則；
⑸若等差數列的前項和，則是等差數列；
⑹當項數為，則；
當項數為，則.
(7)設是等差數列，則（是常數）是公差為的等差數列；
(8)設，，，則有；
(9) 是等差數列的前項和，則；
(10)其他衍生等差數列：若已知等差數列，公差為，前項和為，則
①．為等差數列，公差為；
即）為等差數列，公差；
即）為等差數列，公差為.
3、等比數列
1）通項公式：，為首項，為公比 。前項和公式：①當時，②當時，.
2）等比中項：。；
3）等比數列的判定方法：⑴定義法：（，是常數）是等比數列；⑵中項法：()且是等比數列.
4）等比數列的性質：
⑴數列是等比數列，則數列、（是常數）都是等比數列；
（2）（3）若，則；
（4）若等比數列的前項和，則、、、是等比數列.
（5）設，是等比數列，則也是等比數列。
（6）設是等比數列，是等差數列，且則也是等比數列（即等比數列中等距離分離出的子數列仍為等比數列）；
（7）設是正項等比數列，則是等差數列；
（8）設，，，則有；
（9）其他衍生等比數列：若已知等比數列，公比為，前項和為，則
①．為等比數列，公比為；
②．（即）為等比數列，公比為；
4、解題技巧
a、數列求和的常用方法：
1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特殊數列求和。
2、錯項相減法：適用於差比數列（如果等差，等比，那麼叫做差比數列）
即把每一項都乘以的公比，向後錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。
3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只餘有限幾項，可求和。適用於數列和（其中等差）。可裂項為：，
b、等差數列前項和的最值問題：
1、若等差數列的首項，公差，則前項和有最大值。
（ⅰ）若已知通項，則最大；
（ⅱ）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最大；
2、若等差數列的首項，公差，則前項和有最小值
（ⅰ）若已知通項，則最小；
（ⅱ）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最小；
c、根據遞推公式求通項：
1、構造法：
1°遞推關係形如「」，利用待定係數法求解
【例題】已知數列中，，求數列的通項公式.
2°遞推關係形如「，兩邊同除或待定係數法求解
【例題】，求數列的通項公式.
3°遞推已知數列中，關係形如「」，利用待定係數法求解
【例題】已知數列中，，求數列的通項公式.
4°遞推關係形如",兩邊同除以
【例題】已知數列中，，求數列的通項公式.
【例題】數列中，，求數列的通項公式.
2、迭代法：
a、⑴已知關係式，可利用迭加法或迭代法；
【例題】已知數列中，，求數列的通項公式
b、已知關係式，可利用迭乘法.
【例題】已知數列滿足：，求求數列的通項公式；
3、給出關於和的關係
【例題】設數列的前項和為，已知，設，
求數列的通項公式．
五、典型例題
a、求值類的計算題（多關於等差等比數列）
1）根據基本量求解（方程的思想）
【例題】已知為等差數列的前項和，，求；
2）根據數列的性質求解（整體思想）
【例題】已知為等比數列前項和，，，則 .
b、求數列通項公式（參考前面根據遞推公式求通項部分）
c、證明數列是等差或等比數列
1)證明數列等差
【例題】已知為等差數列的前項和，.求證：數列是等差數列.
2）證明數列等比
【例題】數列的前n項和為sn，數列中，若an+sn=n.設**=an－1，求證：數列是等比數列；
d、求數列的前n項和
【例題1】求數列的前項和.（拆項求和法）
【例題2】求和：s=1+（裂項相消法）
【例題3】設，求：⑴；
⑵（倒序相加法）
【例題4】若數列的通項，求此數列的前項和.（錯位相減法）
【例題5】已知數列的前n項和sn=12n－n2，求數列的前n項和tn.
e、數列單調性最值問題
【例題】數列中，，當數列的前項和取得最小值時， .
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