數列創新題型突破-------五、數陣和數表
所謂數表就是指滿足一定的生成規則並按一定的順序排列成的乙個表，數表問題常與數列知識聯手，在高考中奏出一曲曲優美的「樂章」，逐漸成為高考命題的熱門，本文試就數表問題考查的幾種常見型別及變化趨勢作一闡述，以饋讀者。
一、三角形數表
例1（2023年江蘇卷10）將全體正整數排成乙個三角形數表：
12 3
4 5 6
7 8 9 10
按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數為
【評析】：通過列舉、分析、歸納、猜想，前n-1行共有1+2+3+…+ n-1個數，即共有個，因此第n行第3個數是全體正整數中第+3個數，即
例2（2023年山東卷19）
將數列｛an｝中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成如下數表：
a1a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
記表中的第一列數a1，a2，a4，a7，…構成的數列為｛bn｝,b1=a1=1. sn為數列｛bn｝的前n項和，且滿足＝1（n≥2）.
（ⅰ）證明數列｛｝成等差數列，並求數列｛bn｝的通項公式；
（ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數按從左到右的順序均構成等比數列，且公比為同乙個正數.當時，求上表中第k(k≥3)行所有項和的和.
（ⅰ）證明略，
（ⅱ）析：本題關鍵在於確定在表中的位置，再由通項公式求出,然後求和，設上表中從第三行起，每行的公比都為q,且q＞0.
因為所以表中第1行至第12行共含有數列｛an｝的前78項，
故 a81表中第13行第三列，
因此 , 又所以 q=2.
記表中第k(k≥3)行所有項的和為s，
則（k≥3）.
點撥：研究數表問題，首先要明確數表的構成元素,數表是由什麼樣的數列或哪些元素構成，即先要尋找數列的遞推關係或元素的規律。
二、方形數表
例3（2023年北京春季高考題改編）下表給出乙個「等差數表」：
其中每行、每列都是等差數列，aij表示位於第i行第j列的數.
（1）寫出的值；
（2）寫出aij的計算公式；
（3）寫出2008這個數在等差數表中所在的乙個位置。
【評析】：本題主要考查等差數列的基礎知識，考查學生的邏輯思維能力，分析問題和解決問題的能力。
由每行和每列均成等差數列和**中前兩行兩列的4個數，可求出第一行和第二行所有的數，再由第5列的前兩個數求得第4個數，即。
解：（1）（略解）=49
（2）該等差數表的第1行是首項為4，公差為3的等差數列，a1j=4+3(j-1)，第二行是首項為7，公差為5的等差數列，a2j=7+5(j-1)，…
第i行是首項為4+3（i-1），公差為2i+1的等差數列，因此
aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j
（3）要找2008在該等差數表中的位置，也就是要找正整數i,j使得2ij+i+j=2008，所以，當i=1時，得j=669
所以，2008在等差數表中的乙個位置是第1行第669列。
點撥：對於數表形等差、等比數列的綜合問題，行、列關係較為複雜，在解題時一定要多找等量關係，少設變數,盡可能把已知元素的值化歸到同行或者同列。
三、回形數表
例4 （2008江蘇高考零距離突破二輪複習題）
將自然數排成如下的螺旋狀
第乙個拐彎處的數是2，第二個拐彎處的數是3，第20個及第25個拐彎處的數分別是
【評析】：由圖可知，前n個拐彎處的數依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，…，①這是乙個數列題目，要求找出它的第20項和第25項各是多少，因此要找出這個數列的規則，經觀察，該數列的後一項減去一項，得一新數列1，2，2，3，3，4，4，5，5，……②，把數列①的第一項添在數列②的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，……③，觀察數列①，③發現原數列①的第n項就等於數列③的前n項和,即，，，…,故第20個拐彎處的數a20=2+1+2+2+…+10+10=1+2（1+2+…+10）=111
a25=2+1+2+2+…+12+12+13=170
解法2：設第i個拐彎處的數為ai，顯然a1=2，a2i=a2i-1+i, a2i+1= a2i+(i+1)
∵20=2×10 25=2×12+1∴a20=1+2(1+2+…+10)=11
a25=1+2(1+2+…+12)+13=170
解法1到解法2由具體到抽象，體現出思維不斷優化的過程。
點撥：解決數表問題，需細心研究其元素的排列的規律，即構成數列的元素，或數列的項是按照何種規則排列而成的，有時即使找到排列的規則，但如果不能對所發現的規律所蘊含的資訊進行整理再加工，解題同樣會誤入歧途。
四、數表與排列組合的有機結合
例5、（2023年上海春季高考）用n個不同的實數可得到n！個不同的排列，每個排列為一行，寫成乙個n！行的數表，對第行，記 （）
例如1，2，3可得數表如圖，由於此數表中每一列數之和均為12，所以。那麼在用1，2，3，4，5形成的數表中
【評析】：此題題目新穎有趣，思維要求較高，它給出計算數表中各數的某種組合的新思路，同時又具備高等數學的背景，滲透高等數學背景是高考命題的一大趨勢，值得引起重視。
解：在用1，2，3，4，5所形成的數表中，起始數字為1的共有a44行，類似，起始數字為2，3，4，5的行都有a44個，於是數表中各數之和為(1+2+3+4+5) a44=360.∴==
總之，適應新課程的需要，高考命題會出現一些新情況、新定義、新背景的問題，數表作為近年來數學命題的乙個新亮點，為在今後高考中再次出現增添了無限的魅力空間。
數列創新題型突破-------六、數列應用題
數列作為特殊的函式，在高中數學中占有相當重要的位置，涉及實際應用的問題廣泛而多樣，如：增長率、銀行信貸等．解答這一類問題，要充分應用觀察、歸納、猜想的手段，注意其間的遞推關係，建立出等差、等比、或遞推數列的模型．
建立數列的遞推關係來解題將有可能成為高考命題革新的乙個方向．
1．某縣位於沙漠邊緣，當地居民與風沙進行著艱苦的鬥爭，到2023年底全縣的綠地已佔全縣總面積的30%．從2023年起，市**決定加大植樹造林、開闢綠地的力度，則每年有16%的原沙漠地帶變成了綠地，但同時，原有綠地的4%又被侵蝕，變成了沙漠．
（ⅰ）在這種政策之下，是否有可能在將來的某一年，全縣綠地面積超過80%？
（ⅱ）至少在多少年底，該縣的綠地面積才能超過全縣總面積的60%？
講解：本題為實際問題，首先應該讀懂題意，搞清研究物件，然後把它轉化為數學問題．不難看出，這是一道數列型應用問題．因此，我們可以設：
全縣面積為1，記2023年底的全縣綠地面積佔總面積的百分比為，經過n年後全縣綠地面積佔總面積的百分比為，則我們所要回答的問題就是：
（ⅰ）是否存在自然數，使得》80% ？
（ⅱ）求使得》60%成立的最小的自然數.
為了解決這些問題，我們可以根據題意，列出數列的相鄰項之間的函式關係，然後由此遞推公式出發，設法求出這個數列的通項公式．
由題可知：，
所以，當時，，兩式作差得：
又， 所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列．
所以，由上式可知：對於任意，均有．即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%．
（ⅱ）令，得，
由指數函式的性質可知：隨的增大而單調遞減，因此，我們只需從開始驗證，直到找到第乙個使得的自然數即為所求．
驗證可知：當時，均有，而當時，，
由指數函式的單調性可知：當時，均有．
所以，從2023年底開始，5年後，即2023年底，全縣綠地面積才開始超過總面積的60%．
點評：（ⅱ）中，也可通過估值的方法來確定的值．
2. 某鐵路指揮部接到預報，24小時後將有一場超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內築一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經測算，其工程量除現有施工人員連續奮戰外，還需要20輛翻斗車同時作業24小時。
但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其餘車輛需要從各處緊急抽調，每隔20分鐘有一輛車到達並投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內能否完成防洪堤壩工程？並說明理由.
講解: 引入字母, 構建等差數列和不等式模型.
由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知，每輛車，每小時的工作效率為，設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a1，a2，…, a25小時，依題意它們組成公差（小時）的等差數列，且
，化簡可得.
解得.可見a1的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內完成.
3. 某學校為了教職工的住房問題，計畫徵用一塊土地蓋一幢總建築面積為a(m2)的宿舍樓.已知土地的徵用費為2388元/m2，且每層的建築面積相同，土地的徵用面積為第一層的2.
5倍.經工程技術人員核算，第
一、二層的建築費用相同都為445元/m2，以後每增高一層，其建築費用就增加30元/m2.試設計這幢宿舍樓的樓高層數，使總費用最少，並求出其最少費用.（總費用為建築費用和徵地費用之和）.
講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構數學模型?
設樓高為n層，總費用為y元，則徵地面積為，徵地費用為元，樓層建築費用為[445+445+（445+30）+（445+30×2）+…+445+30×（n－2）]元，從而
（元）當且僅當, n=20（層）時，總費用y最少.
故當這幢宿舍樓的樓高層數為20層時, 最少總費用為1000a元.
5．某人計畫年初向銀行貸款10萬元用於買房．他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，並從借後次年年初開始歸還，若10年期貸款的年利率為4％，且每年利息均按複利計算（即本年的利息計入次年的本金生息），問每年應還多少元（精確到1元）？
講解：作為解決這個問題的第一步，我們首先需要明確的是：如果不考慮其它因素，同等款額的錢在不同時期的價值是不同的．比如說：
現在的10元錢，其價值應該大於1年後的10元錢．原因在於：現在的10元錢，在1年的時間內要產生利息．
在此基礎上，這個問題，有兩種思考的方法：
法1．如果注意到按照貸款的規定，在貸款全部還清時，10萬元貸款的價值，與這個人還款的價值總額應該相等．則我們可以考慮把所有的款項都轉化到同一時間（即貸款全部付清時）去計算．
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數列題型完美總結
1 數列的概念 1 數列定義 按一定次序排列的一列數叫做數列 數列中的每個數都叫這個數列的項。記作，在數列第乙個位置的項叫第1項 或首項 在第二個位置的叫第2項，序號為的項叫第項 也叫通項 記作 數列的一般形式簡記作。例 判斷下列各組元素能否構成數列 1 a,3,1,1,b,5,7,9 2 2010...
數列經典題型總結
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