題型1 已知數列前幾項求通項公式
此題主要通過學生觀察、試驗、合情推理等活動，且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質，從而培養學生數學思維能力．相對於填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進行猜想即可；對於解答題，往往還需要我們進一步加以證明．
1. 在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計資料如下表． 觀察表中資料的特點，用適當的數填入表中空白（ ）內．
2. 根據下列5個圖形及相應點的個數的變化規律，猜測第個圖中有__n2-n+1_個點．
（1） （23） （45）
3. （2023年廣東卷）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗裡用同樣的桌球堆成若干堆「正三稜錐」形的展品，其中第1堆只有1層，就乙個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放乙個桌球，以表示第堆的桌球總數，則；
（答案用表示）.
題型2 由an與sn的關係求通項公式
4. 已知數列的前項和，則 n ．
5. 已知數列的前項和，則 ．
這類題目主要注意與之間關係的轉化．即：
=一般已知條件中含an與sn的關係的數列題均可考慮用上述公式．
點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合併．
6. （04年浙江）設數列的前項的和sn=（an-1） (n)．
(ⅰ)求a1；a2；
(ⅱ)求證數列為等比數列．
解: (ⅰ)由,得∴ 又,即,得.
(ⅱ)當n>1時,
得所以是首項,公比為的等比數列．
題型3定義法
直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應於已知數列型別的題目．
已知數列遞推公式求通項公式
7. 已知數列的首項，且，則 3n-2 ．
8. 已知數列的首項，且，則 ．
9. 等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，．求數列的通項公式
解：設數列公差為
∵成等比數列，∴，
即，得∵
∴…………②
由①②得：，
∴點評：利用定義法求數列通項時要注意不用錯定義，設法求出首項與公差（公比）後再寫出通項。
題型4、由等差，等比演化而來的「差型」，「商型」遞推關係
數列中，，求的通項公式 ．
變式1：數列中，，求的通項公式 ．
變式2：數列中，，求的通項公式 ．
型別1 遞推公式為
解法：分析：①等差數列：
生成：，，…，
累加： =
由此推廣成差型遞推關係：
累加： = ，於是只要可以求和就行．
解題的基本思路就是構造出某個數列的相鄰兩項之差，然後採用迭加的方法就可求得這一數列的通項公式.
把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
10. 數列中，，求的通項公式 ．
11. 數列中，，求的通項公式 ．
12. 數列中，，求的通項公式 ．
13. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則
所以數列的通項公式為。
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
14. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
解：由得則所以
評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，即得數列的通項公式。
15. 已知數列滿足，，求。
解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以，16. 設是首項為1的正項數列，且，（n∈n*），求數列的通項公式an.
解：由題設得.
∵，，∴.
∴型別2 （1）遞推公式為解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
題組二、已知數列的首項，且，則 ．
變式1：已知數列的首項，且，則 ．
分析：②等比數列：生成：，，…，
累乘： =
由此推廣成商型遞推關係：累乘：
累乘法構造數列相鄰兩項的商式，然後連乘也是求數列通項公式的一種簡單方法.
17. 數列中，，前n項的和，求.
解： ，∴ ∴
對形如的數列的通項，可用累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1個式子累乘求得通項。
例5．已知數列中，，前項和與的關係是，求通項公式．
解：由得兩式相減得：，
，將上面n—1個等式相乘得：
點評：累乘法是反覆利用遞推關係得到n—1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉化為求的前n—1項的積，要注意求積的技巧．
18. （2023年全國i第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
解：因為①所以 ②用②式－①式得
則故為商型的，用累乘法可得
所以 ③
由，，則，又知，則，代入③得。
所以，的通項公式為（2023年全國卷）已知數列，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則的通項
分析：由已知，由生成
兩式相減得，即
即．評注：本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，進而求出，從而可得當的表示式，最後再求出數列的通項公式。
19. 已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘即又，
（2）．由和確定的遞推數列的通項可如下求得：
由已知遞推式有，，，依次向前代入，得，
簡記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。
20. 數列是首項為1的正項數列，
且，求的通項公式．
數列求通項公式的常見題型與解題方法（1）
題型1 已知數列前幾項求通項公式
此題主要通過學生觀察、試驗、合情推理等活動，且在此基礎上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質，從而培養學生數學思維能力．相對於填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進行猜想即可；對於解答題，往往還需要我們進一步加以證明．
1. 在某報《自測健康狀況》的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計資料如下表． 觀察表中資料的特點，用適當的數填入表中空白（ ）內．
2. 根據下列5個圖形及相應點的個數的變化規律，猜測第個圖中有___個點．
（1） （23） （45）
3. （2023年廣東卷）在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗裡用同樣的桌球堆成若干堆「正三稜錐」形的展品，其中第1堆只有1層，就乙個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放乙個桌球，以表示第堆的桌球總數，則f(3f(n答案用表示）.
題型2 由an與sn的關係求通項公式
4. 已知數列的前項和，則 ．
5. 已知數列的前項和，則 ．
這類題目主要注意與之間關係的轉化．即： = 一般已知條件中含an與sn的關係的數列題均可考慮用上述公式．
點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合併．
6. （04年浙江）設數列的前項的和sn=（an-1） (n)．
(ⅰ)求a1；a2；
(ⅱ)求證數列為等比數列．
題型3定義法
直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應於已知數列型別的題目．
已知數列遞推公式求通項公式
7. 已知數列的首項，且，則 ．
8. 已知數列的首項，且，則 ．
9. 等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，．求數列的通項公式
題型4、由等差，等比演化而來的「差型」，「商型」遞推關係
數列中，，求的通項公式 ．
變式1：數列中，，求的通項公式 ．
變式2：數列中，，求的通項公式 ．
型別1 遞推公式為
分析：等差數列：
生成：，，…，
累加： =
由此推廣成差型遞推關係： 累加：
於是只要可以求和就行．
累加法解題的基本思路就是把原遞推公式轉化構造出某個數列的相鄰兩項之差，然後採用迭加的方法就可求得這一數列的通項公式.
10. 數列中，，求的通項公式 ．
11. 數列中，，求的通項公式 ．
12. 數列中，，求的通項公式 ．
13. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
14. 已知數列滿足，求數列的通項公式。
15. 已知數列滿足，，求。
16. 設是首項為1的正項數列，且，（n∈n*），求數列的通項公式an.
數列求通項公式的常見題型與解題方法（2）
題組二、已知數列的首項，且，則 ．
變式1：已知數列的首項，且，則 ．
型別2 （1）遞推公式為
分析：②等比數列：
生成：，，…，
累乘： =
由此推廣成商型遞推關係：
累乘：累乘法構造數列相鄰兩項的商式，然後連乘也是求數列通項公式的一種簡單方法.
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
題組二、已知數列的首項，且，則 ．
變式1：已知數列的首項，且，則 ．
17. 數列中，，前n項的和，求.
18. （2023年全國i第15題，原題是填空題）已知數列滿足，求的通項公式。
19. 已知數列滿足，，求。
20. 數列是首項為1的正項數列，
且，求的通項公式．
數列求通項公式的常見題型與解題方法
數列這一章的主要章節結構為 題型1 已知數列前幾項求通項公式 1 數列的通項 2 數列的通項 3 數列的通項 題型2 由an與sn的關係求通項公式 這類題目主要注意與之間關係的轉化 即 已知數列的前項和，則 已知數列的前項和，則 例1 04年浙江 設數列的前項的和sn an 1 n 求a1 a2 求...
數列求通項公式的題型
典型題的技巧解法 1 求通項公式 1 觀察法。2 由遞推公式求通項。對於由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。1 遞推式為an 1 an d及an 1 qan d，q為常數 例1 已知滿足an 1 an 2，而且a1 1。求an。例2 已知滿足，而，求...
常見遞推數列求通項公式方法
遞推數列通項求解方法舉隅 型別一 思路1 遞推法 思路2 構造法 設，即得，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。例1 已知數列滿足且，求數列的通項公式。解 方法1 遞推法 方法2 構造法 設，即，數列是以為首項 為公比的等比數列，則，即。型別二 思路1 遞推法 思路2 疊加法 依次類推有 將各...