求遞推數列通項公式的常用方法
一公式法：利用熟知的的公式求通項公式的方法稱為公式法，常用的公式有，等差數列或等比數列的通項公式。
例一已知無窮數列的前項和為，並且，求的通項公式？
【解析】： ， ， ，又，
.反思：利用相關數列與的關係：,與提設條件，建立遞推關係，是本題求解的關鍵.
跟蹤訓練1.已知數列的前項和，滿足關係.試證數列是等比數列.
二歸納法：由數列前幾項用不完全歸納猜測出數列的通項公式，再利用數學歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法.
例二已知數列中，，，求數列的通項公式.
【解析】： ，， ，
猜測，再用數學歸納法證明.（略）
反思：用歸納法求遞推數列，首先要熟悉一般數列的通項公式，再就是一定要用數學歸納法證明其正確性.
跟蹤訓練2.設是正數組成的數列，其前項和為，並且對於所有自然數，與1的等差中項等於與1的等比中項，求數列的通項公式.
三累加法：利用求通項公式的方法稱為累加法。累加法是求型如的遞推數列通項公式的基本方法（可求前項和）.
例三已知無窮數列的的通項公式是，若數列滿足， ，求數列的通項公式.
【解析】：,,=1+++
=.反思:用累加法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為.
跟蹤訓練3.已知,,求數列通項公式.
四累乘法:利用恒等式求通項公式的方法稱為累乘法,累乘法是求型如:的遞推數列通項公式的基本方法(數列可求前項積).
例四已知,,求數列通項公式.
【解析】： ,,又有=
1×=,當時，滿足， .
反思: 用累乘法求通項公式的關鍵是將遞推公式變形為.
跟蹤訓練4.已知數列滿足,.則的通項公式是.
五構造新數列:
型別1解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以， 型別2
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例2:已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又， 例3:已知， ，求。
解： 。
變式:（2004，全國i,）已知數列，滿足a1=1， (n≥2)，則的通項
解：由已知，得，用此式減去已知式，得
當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得
型別3 （其中p，q均為常數，）。
解法（待定係數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例4:已知數列中，，，求.
解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.
變式:（2006，重慶,文,14）
在數列中，若，則該數列的通項
（key:）
型別4 （其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定係數法解決。
例5:已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以型別5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解 (特徵根法)：對於由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特徵方程。
若是特徵方程的兩個根，
當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）；
當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）。
例6: 數列：，,求
解（特徵根法）：的特徵方程是：。,
。又由，於是
故練習:已知數列中，, ,，求。
。變式:（2006，福建,文,22）
已知數列滿足求數列的通項公式；
（i）解：
型別6 遞推公式為與的關係式。(或)
解法：利用與消去或與消去進行求解。
例7：數列前n項和.（1）求與的關係；（2）求通項公式.
解：（1）由得：
於是所以.
（2）應用型別4（（其中p，q均為常數，））的方法，上式兩邊同乘以得：
由.於是數列是以2為首項，2為公差的等差數列，所以
數列求和的常用方法
數列求和是數列的重要內容之一，也是高考數學的重點考查物件。數列求和的基本思路是，抓通項，找規律，套方法。下面介紹數列求和的幾種常用方法：
一、直接（或轉化）由等差、等比數列的求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
34、5、
例1（07高考山東文18）設是公比大於1的等比數列，為數列的前項和．已知，且構成等差數列．
（1）求數列的等差數列．
（2）令求數列的前項和．
解：（1）由已知得解得．
設數列的公比為，由，可得．
又，可知，即，
解得．由題意得．
．故數列的通項為．
（2）由於由（1）得
， 又
是等差數列．
故．練習：設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
二、錯位相減法
設數列的等比數列，數列是等差數列，則數列的前項和求解，均可用錯位相減法。
例2（07高考天津）在數列中，，其中．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）求數列的前項和；
（ⅰ）解：由，，
可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．
（ⅱ）解：設， ①
②當時，①式減去②式，得，．
這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
例3（07高考全國ⅱ文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，
（ⅰ）求，的通項公式；
（ⅱ）求數列的前n項和．
解：（ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，．
所以，．
（ⅱ）．
，①，②
②－①得，
．三、逆序相加法
把數列正著寫和倒著寫再相加（即等差數列求和公式的推導過程的推廣）
例4設函式的圖象上有兩點p1(x1, y1)、p2(x2, y2)，若,且點p的橫座標為.
（i）求證：p點的縱座標為定值，並求出這個定值；
（ii）若
（i）∵,且點p的橫座標為.
∴p是的中點，且
由（i）知，
，（1）+（2）得：
四、裂項求和法
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1）（2）
（3）等。
例5 求數列的前n項和.
解：設 （裂項
則 （裂項求和
例6（06高考湖北）已知二次函式的影象經過座標原點，其導函式為，數列的前n項和為，點均在函式的影象上。（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；
解：（ⅰ）設這二次函式f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由於f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因為點均在函式的影象上，所以＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
當n＝1時，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，
故tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.
評析：一般地，若數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項求和法。
五、分組求和法
所謂分組法求和就是：對一類既不是等差數列，也不是等比數列的數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併。
例7數列的前n項和，數列滿.
（ⅰ）證明數列為等比數列；（ⅱ）求數列的前n項和tn。
解析：（ⅰ）由，
兩式相減得： ，
同定義知是首項為1，公比為2的等比數列.
（ⅱ）等式左、右兩邊分別相加得：
=例8求（）
解：⑴ 當為偶數時，
；⑵ 當為奇數時，
綜上所述，．
點評：分組求和即將不能直接求和的數列分解成若干個可以求和的數列,分別求和.
數列求通項公式的常用方法
課題 一般數列求通項公式 1 一 明確目標 自主學習 掌握各種常用方法求有關數列通項公式 二 合作 問題解決 1.觀察歸納法 觀察法就是觀察數列特徵，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關係結構，縱向看各項與項數n的內在聯絡，從而歸納出數列的通向公式，然後利用數學歸納法加以證明即可。例1.根據數...
數列求和與求通項公式方法總結 已打
一 公式法 即直接用等差 等比數列的求和公式求和。1 等差數列的求和公式 2 等比數列的求和公式 例1.求和 1 1 2 3 n 2 二 分組求和法 若乙個數列由兩個特殊數列相加減而得到，則分別對兩個特殊數列求和之後相加減得到該數列的和。例2.求和 1 2 求 3 求 三 裂項相消法 把數列的通項拆...
數列求通項公式基本方法
常見遞推數列通項的求解方法 高考中的遞推數列求通項問題，情境新穎別緻，有廣度，創新度和深度，是高考的熱點之一。是一類考查思維能力的好題。要求考生進行嚴格的邏輯推理，找到數列的通項公式，為此介紹幾種常見遞推數列通項公式的求解方法。型別一 可以求和 累加法 例1 在數列中，已知 1，當時，有，求數列的通...