一公式法例1 數列是等差數列,數列是等比數列,數列中對於任何都有分別求出此三個數列的通項公式.
二利用與的關係例2 若數列的前項和為求的通項公式.
三累加法例3 數列中已知, 求的通項公式.
四累乘法例4數列中已知, 求的通項公式.
五構造法例5 ①數列中已知, 求的通項公式數列中已知, 求的通項公式數列中已知是數列的前項和,且,求的通項公式
一利用公式例6 等比數列的前項和求的值.
二分組求和例7 求數列的前項和.
三錯位相減例8 求和
四裂項相消例9 求和
五倒序相加例10 設,求和
1. 求數列,的前項和.
2 已知，求的前n項和.
3. 求數列a,2a2,3a3,4a4,…,nan, …(a為常數)的前n項和。
4. 求證：
5. 求數列，，，…，，…的前n項和s
6. 數列：，求s2002.
7. 求數5，55，555，…，55…5 的前n項和sn
8. 已知數列是等差數列，且，求的值.
9. 已知數列的通項公式為求它的前n項的和.
10. 在數列中， 證明數列是等差數列，並求出sn的表示式.
11. 數列為正數的等比數列，它的前n 項和為80，前2 n項和為6560，且前n項中數值最大的項為54. 求其首項a1及公比q.
12. 已知數列求.
13. 設為等差數列，sn 為數列的前n 項和，已知s7 = 7, s15 = 75. 記tn 為數列的前n 項和，求tn .
14. 求數列的前項和
15. 已知：.求.
16. 求和.
17. ，求。
18. 設數列｛an｝的前n項和為sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為sn－1，n＝1，2，3，…．（ⅰ）求a1，a2；（ⅱ）｛an｝的通項公式。
19. 已知數列：，求的值。
20. 求和:
21. 求數列的前項和：
22. 求數列的前項和。
24. 求的值。
25. 已知數列的通項公式，求它的前n項和.
26. 已知數列的通項公式求它的前n項和.
27. 求和：
28. 已知數列
30. 解答下列問題：（i）設（1）求的反函式
（2）若
（3）若
31. 設函式求和：
32. 已知數列的各項為正數，其前n項和，（i）求之間的關係式，並求的通項公式；（ii）求證
33.已知數列{}的各項分別為的前n項和.
34．已知數列{}滿足：的前n項和
.35．設數列{}中， 中5的倍數的項依次記為
i）求的值.（ii）用k表示，並說明理由.
（iii）求和：
36．數列{}的前n項和為，且滿足 （i）求與的關係式，並求{}的通項公式；（ii）求和
37．將等差數列{}的所有項依次排列，並如下分組其中第1組有1項，第2組有2項，第3組有4項，…，第n組有項，記tn為第n組中各項的和，已知t3=-48，t4=0， （i）求數列{}的通項公式； （ii）求數列的通項公式；（iii）設數列的前n項和為sn，求s8的值.
39. （1）設是各項均不為零的（）項等差數列，且公差，若將此數列刪去某一項後得到的數列（按原來的順序）是等比數列．（i）當時，求的數值；（ii）求的所有可能值．
（2）求證：對於給定的正整數()，存在乙個各項及公差均不為零的等差數列
，其中任意三項（按原來的順序）都不能組成等比數列．
40. 某企業進行技術改造，有兩種方案，甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲利1萬元，以後每年比前一年增加30%的利潤；乙方案：
每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，以後每年比前一年增加5千元；兩種方案的使用期都是10年，到期一次性歸還本息. 若銀行兩種形式的貸款都按年息5%的複利計算，試比較兩種方案中，哪種獲利更多？
（取）答案：1. 設則
兩式相減得
∴.2. 解：由由等比數列求和公式得 ＝＝＝1－
3. 解：若a=0, 則sn=0若a=1,
則sn=1+2+3+…+n
若a≠0且a≠1則sn=a+2a2+3a3+4a4+…+ nan
∴asn= a2+2 a3+3 a4+…+nan+1
∴(1-a) sn=a+ a2+ a3+…+an- nan+1=
∴sn=
當a=0時，此式也成立。
∴sn=
5. 解：∵=）
sn===6. 解：設s2002＝
由可得……
找特殊性質項）
∴ s2002合併求和）
＝＝＝＝57. 解： 因為55…5=
所以 sn=5+55+555+…+55…5
===解析：根據通項的特點，通項可以拆成兩項或三項的常見數列，然後再分別求和。
另外：sn=
可以拆成：sn=（1+2+3+…+n）+()
8. ∵為等差數列，且1+17=5+13，
∴. 由題設易知 =117.
又為與的等差中項，∴.
9. (裂項)
於是有方程組兩邊相加，即得
10. 【證明】∵∴.
化簡，得 sn-1－sn= 2 sn sn-1
兩邊同除以. sn sn-1，得
∴數列是以為首項，2為公差的等差數列.
11. ∵ ∴此數列為遞增等比數列. 故q ≠ 1.
依題設，有
②÷①，得
④代入①，得
⑤代入③，得
④代入⑥，得 , 再代入③，得a1 =2, 再代入⑤，得 q = 3.
12. 令 （裂項）
故有 =.
13. 設等差數列的公差為d，則i )
解得代入（i）得ii）
∵∴數列是首項為 －2，公差為的等差數列，∴
14. 解： sn=
15. 當為正奇數時，
當為正偶數時，
綜上知，注意按的奇偶性討論！
16.17. 解：因為
所以18. 解：(ⅰ)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為s1－1＝a1－1，
於是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
當n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為s2－1＝a2－，
於是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．
(ⅱ)由題設(sn－1)2－an(sn－1)－an＝0，
即 sn2－2sn＋1－ansn＝0．
當n≥2時，an＝sn－sn－1，代入上式得
sn－1sn－2sn＋1＝0 ①
由(ⅰ)知s1＝a1＝，s2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得s3＝．
由此猜想sn＝，n＝1，2，3，…．
下面用數學歸納法證明這個結論．
(i)n＝1時已知結論成立．
(ii)假設n＝k時結論成立，即sk＝，
當n＝k＋1時，由①得sk＋1＝，即sk＋1＝，
故n＝k＋1時結論也成立．
綜上，由(i)、(ii)可知sn＝對所有正整數n都成立．
於是當n≥2時，an＝sn－sn－1＝－＝，
又n＝1時，a1＝＝，所以
｛an｝的通項公式an＝，n＝1，2，3，…．
19. 解：∵ （找通項及特徵）
設制分組）
裂項）∴ （分組、裂項求和）
20. 解:原式===
21. 解：設
將其每一項拆開再重新組合得
當時當時，＝
22. 解：設
∴ ＝
將其每一項拆開再重新組合得
24. 解：設…………. ①
將①式右邊反序得
反序）又①+②得反序相加）
∴ 25.
==26.
27. 注意：數列的第n項「n·1」不是數列的通項公式，記這個數列為，
∴其通項公式是
28. 為等比數列，∴應運用錯位求和方法：
29.而運用反序求和方法是比較好的想法，
①，②，①+②得
30. （1）
（2）是公差為9的等差數列，
（3）31.
①當n為偶數時
=②當n為奇數時
32. （i）①，而②，
①—②得
的等差數列，
（ii）
33. （1）
（2）當
①②當時，1）當n為奇數時
2）當n為偶數時
34．當而②，
①－②得
35．（i）
（ii）
（iii）
36．（i）
（ii）
37．（i）設{}的公差為d，則①，②，解①、②得
（ii）當時，在前n－1組中共有項數為
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