各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。本文總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。
一、定義法
直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應於已知數列型別的題目．
例1 等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，．求數列的通項公式.
二、公式法
若已知數列的前項和與的關係，求數列的通項可用公式求解。
例2 已知數列的前項和滿足．求數列的通項公式。
三、由遞推式求數列通項法
對於遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列。
型別1 遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用立體疊加法求解。
(2004全國卷i.22)已知數列中, ,
其中……，求數列的通項公式。
例3 已知數列滿足，，求。
型別2（1）遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
(2004全國卷i 15)已知數列，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，則的通項
例4 已知數列滿足，，求。
（2）由和確定的遞推數列的通項可如下求得：
由已知遞推式有，，，依次向前代入，得，簡記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。
（3）遞推式：
解法：只需構造數列，消去帶來的差異．
例5 設數列：，求.
說明：（1）若為的二次式，則可設;
(2)本題也可由,（）兩式相減得轉化為求之.
例6 已知， ，求。
型別3 遞推公式為（其中p，q均為常數，）。
解法：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例7 已知數列中，，，求.
型別4 遞推公式為（其中p，q均為常數，）。（或,其中p，q, r均為常數）
（2006全國i22）設數列的前項的和， （ⅰ）求首項與通項；
解法：該型別較型別3要複雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，
得： 引入輔助數列（其中），得：再應用型別3的方法解決。
例8 已知數列中，,，求。
型別5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解法：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足，再應用前面型別3的方法求解。
（2006福建理22）已知數列滿足（i）求數列的通項公式
例9 已知數列中，, ,，求。
型別6 遞推公式為與的關係式。(或)
解法：利用進行求解。
(2006陝西20) 已知正項數列，其前n項和sn滿足10sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數列，求數列的通項an
例10 已知數列前n項和.
（1）求與的關係；（2）求通項公式.
型別7 雙數列型
解法：根據所給兩個數列遞推公式的關係，靈活採用累加、累乘、化歸等方法求解。
例11 已知數列中，；數列中，。當時，,
，求,.
四、待定係數法（構造法）
求數列通項公式方法靈活多樣，特別是對於給定的遞推關係求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通常可對遞推式變換，轉化成特殊數列（等差或等比數列）來求解，這種方法體現了數學中化未知為已知的化歸思想，而運用待定係數法變換遞推式中的常數就是一種重要的轉化方法。
1、通過分解常數，可轉化為特殊數列的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的遞推式均可通過待定係數法對常數q分解法：設a+k=p（a+k）與原式比較係數可得pk－k=q，即k=，從而得等比數列。
例12 數列滿足a=1，a=a+1（n≥2），求數列的通項公式。
例13 數列滿足a=1，,求數列的通項公式。
例14 已知數列滿足，且，求．
點評：求遞推式形如（p、q為常數）的數列通項，可用迭代法或待定係數法構造新數列來求得,也可用「歸納—猜想—證明」法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型．
例15 已知數列滿足， ，求．
點評：遞推式為（p、q為常數）時，可同除，得
，令從而化歸為（p、q為常數）型．
2、通過分解係數，可轉化為特殊數列的形式求解。這種方法適用於型的遞推式，通過對係數p的分解，可得等比數列：設，比較係數得，可解得。
（2006福建文22）已知數列滿足
i）證明：數列是等比數列；
ii）求數列的通項公式；
例16 數列滿足=0，求數列的通項公式。
分析：遞推式中含相鄰三項，因而考慮每相鄰兩項的組合，即把中間一項的係數分解成1和2，適當組合，可發現乙個等比數列。
例17 數列中，，求數列的通項公式。
說明：若本題中取，則有即得
為常數列,
故可轉化為例13。
例18 已知數列滿足, ,求．
點評：遞推式為（p、q為常數）時，可以設，其待定常數s、t由,求出，從而化歸為上述已知題型．
五、特徵根法
1、設已知數列的項滿足,其中求這個數列的通項公式。作出乙個方程則當時，為常數列，即其中是以為公比的等比數列，即.
例19 已知數列滿足：求
解：作方程
當時，數列是以為公比的等比數列.
於是2、對於由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特徵方程。若是特徵方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）；當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）。
例20 已知數列滿足，
求數列的通項公式。
解法一（待定係數——迭加法）
由，得，且。
則數列是以為首項，為公比的等比數列，於是
。把代入，得，，
，。把以上各式相加，得。。
解法二（特徵根法）：數列：，的特徵方程是：。,
。又由，於是
故3、如果數列滿足下列條件：已知的值且對於，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那麼，可作特徵方程,當特徵方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特徵方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。
(2006重慶文22)數列求數列的通項公式.
解：由已知，得，其特徵方程為，解之，得
， ， 所以。
例21 已知數列滿足性質：對於且求的通項公式.
解: 數列的特徵方程為變形得其根為故特徵方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有∴∴即
例22 已知數列滿足：對於都有
（1）若求（2）若求（3）若求
（4）當取哪些值時，無窮數列不存在？
解：作特徵方程變形得
特徵方程有兩個相同的特徵根依定理2的第（1）部分解答.
(1)∵對於都有
(2)∵∴
令，得.故數列從第5項開始都不存在，
當≤4，時，.
(3)∵∴∴
令則∴對於
∴(4)顯然當時，數列從第2項開始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過程知，時，數列是存在的，當時，
則有令則得且≥2.∴當（其中且n≥2）時，
數列從第項開始便不存在.於是知：當在集合或且≥2}上取值時，無窮數列都不存在.
說明：形如:遞推式，考慮函式倒數關係有令則可歸為型。(取倒數法)
例23解：取倒數： 是等差數列，
六、構造法
構造法就是在解決某些數學問題的過程中，通過對條件與結論的充分剖析，有時會聯想出一種適當的輔助模型，如某種數量關係，某個直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉換，產生新的解題方法，這種思維方法的特點就是「構造」.若已知條件給的是數列的遞推公式要求出該數列的通項公式，此類題通常較難，但使用構造法往往給人耳目一新的感覺.
1、構造等差數列或等比數列
由於等差數列與等比數列的通項公式顯然，對於一些遞推數列問題，若能構造等差數列或等比數列，無疑是一種行之有效的構造方法.
例24 設各項均為正數的數列的前n項和為，對於任意正整數n，都有等式：成立，求的通項.
解： ，
∴，∵，∴.
即是以2為公差的等差數列，且.
∴例25 數列中前n項的和，求數列的通項公式.
解：∵當n≥2時，
令，則，且
是以為公比的等比數列，∴.
2、構造差式與和式
解題的基本思路就是構造出某個數列的相鄰兩項之差，然後採用迭加的方法就可求得這一數列的通項公式.
例26 設是首項為1的正項數列，且，（n∈n*），求數列的通項公式.
解：由題設得.
∵，，∴.∴
例27 數列中，，且，（n∈n*），
求通項公式.
解： ∴（n∈n*）
3、構造商式與積式
構造數列相鄰兩項的商式，然後連乘也是求數列通項公式的一種簡單方法.
例28 數列中，，前n項的和，求.
解： ，
∴∴4、構造對數式或倒數式
有些數列若通過取對數，取倒數代數變形方法，可由複雜變為簡單，使問題得以解決.
例29 設正項數列滿足，（n≥2）.求數列的通項公式.
解：兩邊取對數得：，，設，
則，所以是以2為公比的等比數列，.
，，，∴
例30 已知數列中，，n≥2時，求通項公式.
解：∵，兩邊取倒數得.
可化為等差數列關係式. ∴
數列通項公式的求法小結
一 直接法 如果已知數列為等差 或等比 數列，可直接根據等差 或等比 數列的通項公式，求得，d 或q 從而直接寫出通項公式。1.等差數列是遞減數列，且 48，12，則數列的通項公式是 a b c d 2 已知等比數列則數列的通項公式 二 累加 乘 法 累加法 適用於這是廣義的等差數列 例1 已知數列...
數列通項公式的若干求法
一 知識與技能目標 二 過程與能力目標 1 熟練掌握本章的知識網路結構及相互關係.2 掌握數列通項公式的求法 教學重點 掌握數列通項公式的求法 教學難點 根據數列的遞推關係求通項 教學過程 一 基本概念 數列的通項公式 如果數列的第n項an與n之間的關係可以用乙個公式來表示，這個 公式就叫做這個數列...
數列通項公式的求法及練習
1 公式法 已知 即 求，用作差法 1 已知數列的前項和滿足 求數列的通項公式。2 已知的前項和滿足，求 3數列滿足，求二 作商法 已知求，用作商法 如數列中，對所有的都有，則三 累加法 若求 1.已知數列滿足，求。2.已知數列滿足，則四 累乘法 已知求，用累乘法 1.已知數列滿足，求 2.已知數列...