數列通項公式的求法
數列是高考中的重點內容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數列的一種形式——通項公式，在求數列問題中尤其重要。本文給出了求數列通項公式的常用方法。
小結：除了熟悉以上常見求法以外，對具體的數列進行適當的變形，一邊轉化為熟知的數列模型更是突破數列通項的關鍵。做題時要不斷總結經驗，多加琢磨。
總結方法比做題更重要!方法產生於具體數學內容的學習過程中.
1.直接法2.公式法3.
歸納猜想法4.累加（乘）法5.取倒（對）數法6.
迭代法7.待定係數法8.特徵根法9.
不動點法10.換元法11.雙數列12.
週期型13.分解因式法14.迴圈法15.
開方法◆一、直接法
根據數列的特徵，使用作差法等直接寫出通項公式。
例1：根據數列的前4項，寫出它的乙個通項公式：
（1）9，99，999，9999，…
（2）（3）
（4）◆二、公式法
①利用等差數列或等比數列的定義求通項
②若已知數列的前項和與的關係，求數列的通項可用公式求解.
(注意：求完後一定要考慮合併通項)
例2．①已知數列的前項和滿足．求數列的通項公式.
②已知數列的前項和滿足，求數列的通項公式.
③ 已知等比數列的首項，公比，設數列的通項為，求數列的通項公式。
◆三、歸納猜想法
如果給出了數列的前幾項或能求出數列的前幾項，我們可以根據前幾項的規律，歸納猜想出數列的通項公式，然後再用數學歸納法證明之。也可以猜想出規律，然後正面證明。
例3.已知點的序列，其中，，是線段的中點，是線段的中點，…，是線段的中點，…
（1） 寫出與之間的關係式（）。
（2） 設，計算，由此推測的通項公式，並加以證明。
變式:設數列｛an｝的前n項和為sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為sn－1，n＝1，2，3，…
（ⅰ）求a1，a2an｝的通項公式
◆四、累加（乘）法
對於形如型或形如型的數列，我們可以根據遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關係式，然後將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。
例4. 若在數列中，，，求通項。
例5. 在數列中，，（），求通項。
◆五、取倒（對）數法
a、這種型別一般是等式兩邊取對數後轉化為，再利用待定係數法求解
b、數列有形如的關係，可在等式兩邊同乘以先求出
c、解法：這種型別一般是等式兩邊取倒數後換元轉化為。
例6.．設數列滿足求
例7 、 設正項數列滿足，（n≥2）.求數列的通項公式.
變式:1.已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求通項a．
2、若數列的遞推公式為，求通項a．
3、已知數列{}滿足時，，求通項a．
4、已知數列｛an｝滿足：，求通項a．
5、若數列｛a｝中，a=1，a= n∈n，求通項a．
◆六、迭代法
迭代法就是根據遞推式，採用迴圈代入計算.
例8、設a 0為常數，且a n＝3 n -1－2 a n -1（n為正整數）證明對任意n≥1 ，
a n＝ [ 3 n＋（－1）n -1·2 n ]＋（－1）n · 2 n a 0
◆七、待定係數法：
求數列通項公式方法靈活多樣，特別是對於給定的遞推關係求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通常可對遞推式變換，轉化成特殊數列（等差或等比數列）來求解，該方法體現了數學中化未知為已知的化歸思想，運用待定係數法變換遞推式中的常數就是一種重要的轉化方法。
1、通過分解常數，可轉化為特殊數列的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p≠1，pq≠0）型的遞推式均可通過待定係數法對常數q分解法：設a+k=p（a+k）與原式比較係數可得pk－k=q，即k=，從而得等比數列。
例9、數列滿足a=1，a=a+1（n≥2），求數列的通項公式。
練習、數列滿足a=1，,求數列的通項公式。
2、已知數列滿足，且，求．
2、遞推式為（p、q為常數）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數）型．
、例10．已知數列滿足， ，求．
3、形如
解法：這種型別一般利用待定係數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉化為是公比為的等比數列。
例11:設數列：，求.
變式:已知數列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…
(ⅰ)令求數列
4、形如
解法：這種型別一般利用待定係數法構造等比數列，即令，與已知遞推式比較，解出,z.從而轉化為是公比為的等比數列。
例12:設數列：，求.
5. 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足
例13:已知數列中，, ,，求。
變式:1.已知數列滿足
（i）證明：數列是等比數列；（ii）求數列的通項公式；
（iii）若數列滿足證明是等差數列
2.已知數列中，, ,，求
3.已知數列中，是其前項和，並且，
⑴設數列，求證：數列是等比數列；
⑵設數列，求證：數列是等差數列；⑶求數列的通項公式及前項和。
◆八：特徵根法。
1、設已知數列的項滿足,其中求這個數列的通項公式。作出乙個方程則當時，為常數列，即，其中是以為公比的等比數列，即.
2.對於由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特徵方程。若是特徵方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）；當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）。
例14：（1）已知數列滿足，求數列的通項公式。
◆九：不動點法，形如
解法：如果數列滿足下列條件：已知的值且對於，都有（其中p、q、r、h均為常數，且），那麼，可作特徵方程,當特徵方程有且僅有一根時,則是等差數列;當特徵方程有兩個相異的根、時，則是等比數列。
例15：已知數列滿足性質：對於且求的通項公式.
變式:數列記
（ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （ⅱ）求數列的通項公式及數列的前n項和
◆十：換元法：模擬函式的值域的求法有三角代換和代數代換兩種，目的是代換後出現的整體數列具有規律性。
例16 已知數列滿足，求數列的通項公式。
例17 已知數列滿足，，求。
◆十一。雙數列
解法：根據所給兩個數列遞推公式的關係，靈活採用累加、累乘、化歸等方法求解。
例18. 已知數列中，；數列中，。當時，,，
求,.◆十二、週期型解法：由遞推式計算出前幾項，尋找週期。
例19：若數列滿足，若，則的值為
變式:已知數列滿足，則
a．0 b． c． d．
◆十三、分解因式法
當數列的關係式較複雜，可考慮分解因式和約分化為較簡形式，再用其它方法求得an.
例20.已知數列滿足（n∈），且有條件≥2）.
◆十四、迴圈法
數列有形如的關係，如果復合數列構不成等差、等比數列，有時可考慮構成迴圈關係而求出
例21．在數列中，
◆十五、開方法
對有些數列，可先求再求
例22、兩個數列它們的每一項都是正整數，且對任意自然數、、成等差數列，、、成等比數列，
數列通項公式的求法
◆一、直接法
根據數列的特徵，使用作差法等直接寫出通項公式。
例1：根據數列的前4項，寫出它的乙個通項公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）
（3）（4）
答案：（1） （2） （3） （4）.
◆二、公式法
①利用等差數列或等比數列的定義求通項
②若已知數列的前項和與的關係，求數列的通項可用公式求解.
(注意：求完後一定要考慮合併通項)
例2．①已知數列的前項和滿足．求數列的通項公式.
②已知數列的前項和滿足，求數列的通項公式.
③ 已知等比數列的首項，公比，設數列的通項為，求數列的通項公式。
③解析：由題意，，又是等比數列，公比為
∴，故數列是等比數列，，
∴ ◆三、歸納猜想法
如果給出了數列的前幾項或能求出數列的前幾項，我們可以根據前幾項的規律，歸納猜想出數列的通項公式，然後再用數學歸納法證明之。也可以猜想出規律，然後正面證明。
例3.已知點的序列，其中，，是線段的中點，是線段的中點，…，是線段的中點，…
（3） 寫出與之間的關係式（）。
（4） 設，計算，由此推測的通項公式，並加以證明。
解析：（1）∵是線段的中點， ∴
（2），
=，=，
猜想，下面用數學歸納法證明
當n=1時，顯然成立；
假設n=k時命題成立，即
則n=k+1時， = =
∴ 當n=k+1時命題也成立，∴ 命題對任意都成立。
變式:設數列｛an｝的前n項和為sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為sn－1，n＝1，2，3，…
（ⅰ）求a1，a2；（ⅱ）｛an｝的通項公式
◆四、累加（乘）法
對於形如型或形如型的數列，我們可以根據遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關係式，然後將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。
例4. 若在數列中，，，求通項。
解析：由得，所以
，，…，，
將以上各式相加得：，又所以 =
例6. 在數列中，，（），求通項。
解析：由已知，，，…，，又，
所以=…=…=
◆五、取倒（對）數法
a、這種型別一般是等式兩邊取對數後轉化為，再利用待定係數法求解
b、數列有形如的關係，可在等式兩邊同乘以先求出
c、解法：這種型別一般是等式兩邊取倒數後換元轉化為。
例6.．設數列滿足求
解：原條件變形為兩邊同乘以得.
例7 、 設正項數列滿足，（n≥2）.求數列的通項公式.
解：兩邊取對數得：，，設，
則是以2為公比的等比數列，.
變式:1.已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求通項a．
2、若數列的遞推公式為，求通項a．
3、已知數列{}滿足時，，求通項a．
4、已知數列｛an｝滿足：，求通項a．
5、若數列｛a｝中，a=1，a= n∈n，求通項a．
◆六、迭代法
迭代法就是根據遞推式，採用迴圈代入計算.
例8、設a 0為常數，且a n＝3 n -1－2 a n -1（n為正整數）證明對任意n≥1 ，
a n＝ [ 3 n＋（－1）n -1·2 n ]＋（－1）n · 2 n a 0
證明： a n＝3 n -1－2 a n -1＝3 n -1－2（3 n -2－2 a n -2）
＝3 n -1－2·3 n -2＋2 2（3 n -3－2 a n -3）
數列通項公式的求法
各種數列問題在很多情形下，就是對數列通項公式的求解。特別是在一些綜合性比較強的數列問題中，數列通項公式的求解問題往往是解決數列難題的瓶頸。本文總結出幾種求解數列通項公式的方法，希望能對大家有幫助。一 定義法 直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應於已知數列型別的題目 例1...
數列通項公式的十種求法
一 公式法 能判斷所給數列是等差數列或者是等比數列 例1 已知數列滿足，求數列的通項公式。解 兩邊除以，得，則，故數列是以為首項，以為公差的等差數列，由等差數列的通項公式，得，所以數列的通項公式為。評注 本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，說明數列是等差數列，再直接利用等差數列的通項公式求出，進而求...
數列通項公式的求法小結
一 直接法 如果已知數列為等差 或等比 數列，可直接根據等差 或等比 數列的通項公式，求得，d 或q 從而直接寫出通項公式。1.等差數列是遞減數列，且 48，12，則數列的通項公式是 a b c d 2 已知等比數列則數列的通項公式 二 累加 乘 法 累加法 適用於這是廣義的等差數列 例1 已知數列...