數列是高考中的重點內容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數列的一種形式——通項公式，在求數列問題中尤其重要。本文給出了求數列通項公式的常用方法。
一． 觀察法
例1：根據數列的前4項，寫出它的乙個通項公式：
（1）9，99，999，9999，…
（2）（3）
（4）解：（1）變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，……
∴通項公式為：
（2） （3） （4）.
觀察各項的特點，關鍵是找出各項與項數n的關係。
二、定義法
例2： 已知數列是公差為d的等差數列，數列是公比為q的(q∈r且q≠1)的等比數列，若函式f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，
(1)求數列和的通項公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈r，且q≠1，得q=－2，
∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
當已知數列為等差或等比數列時，可直接利用等差或等比數列的通項公式，只需求得首項及公差公比。
三、疊加法
例3：已知數列6，9，14，21，30，…求此數列的乙個通項。
解易知∵
……各式相加得∴
一般地，對於型如類的通項公式，只要能進行求和，則宜採用此方法求解。
四、疊乘法
例4：在數列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表示式。
解：由(n+1)·=n·得，
所以一般地，對於型如= (n)·類的通項公式，當的值可以求得時，宜採用此方法。
五、公式法
若已知數列的前項和與的關係，求數列的通項可用公式
求解。例5：已知下列兩數列的前n項和sn的公式，求的通項公式。
（1）。 （2）
解： （1）
===3
此時，。∴=3為所求數列的通項公式。
（2），當時
由於不適合於此等式 。 ∴
注意要先分n=1和兩種情況分別進行運算，然後驗證能否統一。
例6. 設數列的首項為a1=1，前n項和sn滿足關係
求證：數列是等比數列。
解析：因為所以
所以，數列是等比數列。
六、階差法
例7.已知數列的前項和與的關係是
，其中b是與n無關的常數，且。
求出用n和b表示的an的關係式。
解析：首先由公式：得：
利用階差法要注意：遞推公式中某一項的下標與其係數的指數的關係，即
其和為。
七、待定係數法
例8：設數列的各項是乙個等差數列與乙個等比數列對應項的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項公式cn
解：設點評：用待定係數法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數列為等差數列：則，（b、ｃ為常數），若數列為等比數列，則，。
八、 輔助數列法
有些數列本身並不是等差或等比數列，但可以經過適當的變形，構造出乙個新的數列為等差或等比數列，從而利用這個數列求其通項公式。
例9.在數列中，，，，求。
解析：在兩邊減去，得
∴是以為首項，以為公比的等比數列，
∴，由累加法得
= =…==
=例10.（2023年全國高考題）設為常數，且（），
證明：對任意n≥1，
證明：設，
用代入可得
∴ 是公比為，首項為的等比數列，
∴ （），
即： 型如an+1=pan+f(n) (p為常數且p≠0, p≠1)可用轉化為等比數列等.
(1)f(n)= q (q為常數)，可轉化為an+1+k=p(an+k)，得是以a1+k為首項，p為公比的等比數列。
例11：已知數的遞推關係為，且求通項。
解：∵ ∴
令則輔助數列是公比為2的等比數列
∴即 ∴
例12： 已知數列｛｝中且（），，求數列的通項公式。
解：∵ ∴， 設，則
故｛｝是以為首項，1為公差的等差數列
例13.（07全國卷ⅱ理21）設數列的首項．
（1）求的通項公式；
解：（1）由
整理得 ．
又，所以是首項為，公比為的等比數列，得
注：一般地，對遞推關係式an+1=pan+q (p、q為常數且，p≠0，p≠1)可等價地改寫成
則{}成等比數列，實際上，這裡的是特徵方程x=px+q的根。
(2) f(n)為等比數列，如f(n)= qn (q為常數) ，兩邊同除以qn，得，令bn=，可轉化為bn+1=pbn+q的形式。
例14.已知數列中，a1=， an+1=an+（）n+1，求an的通項公式。
解：an+1=an+（）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 則 bn+1=bn+1
易得 bn= 即 2nan=
∴ an=
(3) f(n)為等差數列
例15.已知已知數列中，a1=1，an+1+an=3+2 n，求an的通項公式。
解：∵ an+1+an=3+2 n，an+2+an+1=3+2(n+1)，兩式相減得an+2-an=2
因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an=。
注：一般地，這類數列是遞推數列的重點與難點內容，要理解掌握。
(4) f(n)為非等差數列，非等比數列
例16.（07天津卷理）在數列中，，其中．
（ⅰ）求數列的通項公式；
解：由，，
可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．
這種方法類似於換元法, 主要用於已知遞推關係式求通項公式。
九、歸納、猜想
如果給出了數列的前幾項或能求出數列的前幾項，我們可以根據前幾項的規律，歸納猜想出數列的通項公式，然後再用數學歸納法證明之。
例17.（2023年北京春季高考）已知點的序列，其中，，是線段的中點，是線段的中點，…，是線段的中點，…
（1） 寫出與之間的關係式（）。
（2） 設，計算，由此推測的通項公式，並加以證明。
（3） 略
解析：（1）∵是線段的中點， ∴
（2），
=，=，
猜想，下面用數學歸納法證明
當n=1時，顯然成立；
假設n=k時命題成立，即
則n=k+1時， =
∴ 當n=k+1時命題也成立，∴ 命題對任意都成立。
例18：在數列｛｝中，，則的表示式為
分析：因為，所以得：，
猜想：。
十、倒數法
數列有形如的關係，可在等式兩邊同乘以先求出
例19．設數列滿足求
解：原條件變形為兩邊同乘以得.∵∴
綜而言之，等差、等比數列是兩類最基本的數列，是數列部分的重點，自然也是高考考查的熱點，而考查的目的在於測試靈活運用知識的能力，這個「靈活」往往集中在「轉化」的水平上；以上介紹的僅是常見可求通項基本方法,同學們應該在學習不斷的探索才能靈活的應用.只要大家認真的分析求通項公式並不困難.
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