蘊含在概率中的數學思想
一、分類與整合思想
分類與整合思想是重要的數學思想方法，通過分類可以把複雜的問題化分為簡單而熟悉的問題進行解決.只是在分類時要注意選擇正確的分類標準，力爭做到不重不漏.
例1 袋中裝有白球和黑球各3個，從中任取2個，取到黑球的概率是多少？
分析：取到黑球包括兩種情況：「乙個黑球、乙個白球」、「兩個黑球」，因此需分情況討論.
解：設「取到乙個黑球，乙個白球」為事件a，「取到兩個黑球」為事件b，「取到黑球」為事件c，則.
由題意知，從袋中任取2個球，共有6×5÷2＝15種可能結果，「取到乙個黑球、乙個白球」有3×3＝9種可能結果，「取到兩個黑球」有3×2÷2＝3種可能結果.
故.又事件a與事件b互斥，故.
二、數形結合思想
數形結合思想是數學中重要的思想方法之一，在解題過程中，多從形的角度審視和挖掘數所代表的本質，借助圖形的直觀性，可更好的解題.
例2 乙個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6，將這個玩具先後拋擲兩次，試問：
（1）向上的數字之和為5的概率是多少？
（2）向上的數字之和至少是9的概率是多少？
（3）向上的數字之和為多少時概率最大？
分析：將正方體玩具先後拋擲兩次可能出現36種結果，用下圖所示的圖表表示出來，則所有的結果便盡現眼底，一目了然.
解：將正方體玩具拋擲一次，它落地時向上的數字有1，2，3，4，5，6這六種結果，所以，先後將這些玩具拋擲兩次，一共有6×6＝36種不同的結果.
（1）由圖表可知，向上的數字之和為5的結果有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）四種，其中括號內的兩個數字分別為第
一、第二次向上的數字.所以向上的數字之和為5的概率是.
（2）由圖表可知，向上的數字之和至少是9的結果有（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，4）、（5，5）、（5，6）、（6，3）、（6，4）、（6，5）、（6，6）十種，所以向上的數字之和至少是9的概率.
（3）由圖表可知，向上的數字之和出現最多的數為7（一共出現了6次），故向上的數字之和為7的概率最大，最大概率為.
三、轉化與化歸思想
所謂「化歸」就是轉化和歸結.在解決數學問題時，人們常將待解決的問題甲，通過某種轉化，歸結為乙個已經解決或比較容易解決的問題乙，然後，通過乙問題的解去求甲問題的解，這就是「化歸」的思想.
１.運用公式進行化歸
例3 如右圖，把乙個體積為的正方體木塊表面塗上紅漆，
然後鋸成體積為的小正方體，從中任取一塊，求這一塊至少
有一面塗有紅漆的概率.
解：直接求「至少有一面塗有紅漆」的概率比較困難，可以轉化為求其對立事件的概率，即求「未塗紅漆」的小木塊的概率.經分析知未塗紅漆的小木塊有個，故至少一面塗有紅漆的小木塊有648=56個，所以所求事件的概率為.
友情提示：含有「至多」、「至少」等型別的概率問題，從正面突破比較困難或者比較繁瑣時，可考慮其反面，即對立事件，然後應用對立事件的性質進行求解.
2.將一些複雜事件的概率化歸為基本事件的概率
例4 乙個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球，從中摸出乙個球，放回後再摸出乙個球，求兩個球恰好顏色不同的概率.
解：記「摸出一球，放回後再摸出乙個球，兩球恰好顏色不同」為事件ａ，因為摸出乙個球為白球的概率是＝0.4，摸出一球為黑球的概率是＝0.
6，故「有放回地摸兩次，顏色不同」包括「先白後黑」和「先黑再白」.
∴＝0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.
四、方程思想
方程思想是數學解題的重要思想方法，在解決一些概率問題時，如能根據題目中給出的數量關係，列出方程或方程組，往往可使問題得到解決.
例5 為了保證出版物的質量，出版社經常由兩人獨立校對同一校樣，如果甲發現120處錯誤，乙發現110處錯誤，其中有92處錯誤是共同的，能否據此估計出校樣中有多少處錯誤？他們兩人可能遺漏了多少處錯誤？
解：設共有x處錯誤，則甲發現錯誤的概率（即校對能力）是.
另一方面，對於乙發現的110處錯誤，甲發現了92處，故甲的校對能力又可以表示為，顯然，解得 .
又假設兩人遺漏了y處錯誤，由集合論中的公式可得，解得 y=5.
由此可知，校樣中有143處錯誤，他們兩人可能遺漏了5處錯誤.
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