遞推數列特徵方程的發現
一、問題的提出
遞推(迭代)是中學數學中乙個非常重要的概念和方法，遞推數列問題能力要求高，內在聯絡密切，蘊含著不少精妙的數學思想和方法。
在遞推數列中占有重要一席的斐波那契數列，又稱兔子數列，是學生非常樂意**的遞推問題，許多學生都會不約而同地向教師提出，這個數列有通項公式嗎？如有，怎樣求它的通項公式？筆者就曾碰到過一位喜愛鑽研的學生，帶著參考書上的解法而向我請教：
已知斐波那契數列…)，求通項公式。
參考書上的解法是這樣的：
解此數列對應特徵方程為即，解得，
設此數列的通項公式為，
由初始條件可知，
，解之得，
所以。這位學生坦率地表示，儘管參考書上介紹了利用特徵方程求通項公式的一些結論，用上述方法得到的通項公式也是正確的，但他還是「看不懂」。換句話說，這種解法的依據是什麼？
特徵方程是怎樣來的？我雖然深知這是特徵方程惹的禍，但由於現行教材隻字未提特徵方程，我也從未在課堂上作過補充，如果將有關利用特徵方程求遞推數列通項的一些結論直接呈現出來，或者以「高考不作要求」為由來搪塞，學生是難以接受的，也是不負責任的。面對一頭霧水的數學尖子，我在充分肯定其善於思考、勇於探索的可貴品質的同時，也在苦苦尋覓解答這一問題的良策。
其後不久，一次偶然的數學**活動，竟使這一長期困惑我們教學活動的尷尬問題迎刃而解。
二、研究與探索
問題的解決源於對一階線性遞推數列通項公式的探求：
若數列滿足其通項公式的求法一般採用如下的引數法，將遞推數列轉化為等比數列：
設，令，即，當時可得
，知數列是以為公比的等比數列，
將代入並整理，得.
將上述引數法模擬到二階線性遞推數列能得到什麼結論？
仿上，我們來探求數列的特徵：
不妨設，
則, 令
（1） 若方程組①有兩組不同的實數解,
則,即、分別是公比為、的等比數列，
由等比數列性質可得,
∵由上兩式消去可得
.（2） 若方程組①有兩組相等的解，易證此時，則
…，,即是等差數列，
由等差數列性質可知，
所以．（限於學生知識水平，若方程組①有一對共軛虛根的情況略）
這樣，我們通過引數方法，將遞推數列轉化為等比（差）數列，從而求得二階線性遞推數列的通項，若將方程組①消去即得，顯然、就是方程的兩根，我們不妨稱此方程為二階線性遞推數列的特徵方程，於是我們就得到了散見於各種數學參考資料的如下結論：
設遞推公式為其特徵方程為，
1、 若方程有兩相異根、，則；
2、 若方程有兩等根，則.
其中、可由初始條件確定。
這正是特徵方程法求遞推數列通項公式的根源所在，令，就可求得斐波那契數列的通項，真是「踏破鐵蹄無覓處，得來全不費工夫」！
將上述方法繼續模擬到分式線性遞推數列（），看看又會有什麼發現？
仿照前面方法，等式兩邊同加引數，
則令，即
記此方程的兩根為，
（1） 若，將分別代入②式可得
以上兩式相除得，
於是得到為等比數列，其公比為，
數列的通項可由求得；
（2）若，將代入②式可得,
考慮到上式結構特點，兩邊取倒數得
由於時方程③的兩根滿足，∴
於是④式可變形為
∴為等差數列，其公差為，
數列的通項可由求得．
這樣，利用上述方法，我們可以把分式線性遞推數列轉化為等比數列或等差數列，從而求得其通項。如果我們引入分式線性遞推數列（）的特徵方程為，即，此特徵方程的兩根恰好是方程③兩根的相反數，於是我們又有如下結論：
分式線性遞推數列（），其特徵方程為，即，
1、若方程有兩相異根、，則成等比數列，其公比為；
2、若方程有兩等根，則成等差數列，其公差為.
值得指出的是，上述結論在求相應數列通項公式時固然有用，但將遞推數列轉化為等比（等差）數列的思想方法更為重要。如對於其它形式的遞推數列，我們也可借鑑前面的引數法，求得通項公式，其結論與特徵方程法完全一致，有興趣的讀者不妨一試。
三、應用舉例
例1、 已知數列且，求通項公式。
解設，∴
令可得於是…，
∴，即是以為首項、為公差的等差數列，
∴，從而.
例2、設數列滿足.
解： 對等式兩端同加引數得
令，解之得，，代入上式
得兩式相除得
即的等比數列，
∴．四、收穫與反思
隨著普通高中課程改革的逐步深入，要求廣大教師在新課標理念指導下，大膽實施課堂教學改革。如何創造性地處理教學內容，無疑是一項十分現實的課題。由於數學知識呈現方式的多樣性、解決問題策略的多選擇性和數學思維的開放性，教師既要加強學習，不斷充實自己的知識結構，做到高屋建瓴而游刃有餘，還要不斷提高駕馭教材的能力，「用好教材」、「超越教材」而不拘泥於教材，根據學生的實際情況，因材施教，使學生知其然，更知其所以然，幫助學生尋找適合自己的學習方式，「授人以魚不如授之以漁」，在培養學生學習興趣的同時激發學生的思維，時時體味「驀然回首，那人卻在燈火闌珊處」的美妙意境。
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