思維方法·模擬法
模擬是通過兩個(或兩類)物件的比較，找出它們在某一方面(特徵、屬性和關係)的類似點，從而把其中一物件的其他有關性質，移植到另一物件中去．因此，模擬推理是從特殊到特殊的思維方法．
在解析幾何中，模擬法是編制新命題、發現新定理以及開拓解題思路的重要方法．
解析幾何的研究物件是直線、圓和圓錐曲線，因此，在圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間相互模擬，是模擬推理的主要內容．
例1 對圓x2＋y2=r2，由直徑上的圓周角是直角出發，可得：若ab是⊙o的直徑，m是⊙o上一點(異於a、
是否有類似的結論？
標分別為(x1，y1)、(-x1，-y1)，又設點m(x0，y0)是這個橢圓上一點，且x0≠±x1，則
以上兩式相減，得
於是①、②兩式就是橢圓、雙曲線與圓類似的結論．
【解說】 (1)與圓類似，鏈結圓錐曲線上兩點的線段叫做圓錐曲線的弦，過有心曲線(橢圓、雙曲線)中心的弦叫做有心曲線的直徑；
(2)因為拋物線不是有心曲線，所以拋物線沒有與圓的這個性質相類似的結論．
＜a＜b)類似的命題是什麼？
【分析】 由習題1．1第5題，我們知道了橢圓這個命題的證明方法，用類似的方法，我們來尋找雙曲線的有關命題．比較兩個標準方
由①+②，得
於是，我們得到與橢圓類似的正確命題：
習題1．4
1．對圓x2＋y2=r2，由過弦ab(非直徑)中點m的直徑垂直於此
(a＞0，b＞0)類似的結果是什麼？並證明你的結論．
＜1)，一直線順次與它們相交於a、b、c、d四點，則|ab|=|cd|．雙曲線類似的命題是什麼？並加以證明．
習題1．4答案或提示
1．若ab是橢圓、雙曲線的弦(非直徑)，m是ab的中點，則對
一直線順次與它們相交於a、b、c、d四點，則|ab|=|cd|．
思維方法·求異思維
所謂求異思維是一種不依常規、尋求變異、從多方面探索答案的思維形式．求異思維又叫發散思維，它具有不落俗套、標新立異、不拘一格的特點．因此，用求異思維解題有利於培養思維的多向性、靈活性和獨特性．
在平面解析幾何中，培養學生的求異思維能力，要注意以下幾個方面．
(一)變換思維方向
解證解析幾何習題，常常會出現「思路自然、運算麻煩」的局面，甚至會到「山窮水盡疑無路」的地步．這時，若能變換思維角度，多方位思考，多渠道闢徑，就會超過思維障礙，呈現「柳暗花明又一村」的美景．
例1 已知點a(1，-1)、b(7，2)，以a為圓心、8為半徑作⊙a，以b為圓心，6為半徑作⊙b，求這兩個圓外公切線交點p的座標．
【分析】 如圖1－4．解本題的自然思路是，先求出兩條外公切線的方程，再解方程求出交點座標．但這種解法是入手容易出手難，由於運算量過大，使思維陷入困境．如果能換乙個角度思考，聯想到公切
徑之比)，那麼便可用線段定比分點公式，使問題獲得巧解．
【解】 如圖1－4，設m、n是一條外公切線與兩個圓的切點，鏈結ab、bp，則a、b、p三點共線，再鏈結am、bn，則am⊥mp、bn⊥mp．
∴ bn∥am．
設點p的座標為(x，y)，則由線段定比分點公式，得
故點p的座標為(25，11)．
例2 如圖1－5，直線y=kx＋b與圓x2+y2=1交於b、c兩點，與雙曲線x2-y2=1交於a、d兩點，若b、c恰好是線段ad的三等分點，求k與b的值．
【分析】 如圖1－5，解本題的自然思路是，由|ab|=|bc|=|cd|入手，先計算出|ab|、|bc|、|cd|(即用k、b表示)，然後解方程組求得k、b的值．但由於線段ab、cd的端點不在同一曲線上，從而上述解法運算相當麻煩．如果變換思考角度，由|ab|=|cd|出發，可得線段bc與ad的中點重合，進而可用韋達定理，列出k、b的乙個關係式，再
【解】 如圖1－5，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得
(1+k2)x2+2bkx+b2-1=0 ①
從而由韋達定理，得
把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得
(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 ②
∵ |ab|=|cd|，
∴ ad與bc的中點重點．
解之，得k=0或b=0．
當k=0時，方程①化為x2=1-b2，
(二)一題多解
在解析幾何中，進行一題多解訓練是培養求異思維能力的一種極好形式．
例3 已知直線l過座標原點，拋物線c的頂點在原點，焦點在x軸正半軸上，若點a(-1，0)和點b(0，8)關於l的對稱點都在c上，求直線l和拋物線c的方程．(2023年全國高考理科試題)
【分析1】 設直線l的方程為y=kx，拋物線c的方程為y2=2px(p＞0)，先求出a、b關於l對稱的點a′、b′的座標(用k表示)，再代入拋物線c的方程中，可得k、p的方程組，最後解方程組即可．
【解法1】 如圖1－6．由已知可設拋物線c的方程為
y2=2px(p＞0)．
由於直線l不與兩座標軸重合，故可設l的方程為
y＝kx(k≠0)． ①
設a′、b′分別是a、b關於l的對稱點，則由 a′a⊥l可得直線aa′的方程為
將①、②聯立，解得線段aa′的中點m的座標為
分別把a′、b′的座標代入拋物線c的方程中，得
由③÷④，消去p，整理，得
k2-k-1=0． ⑤
又由④知k＞0． ⑥
【分析2】 如圖1－7，設直線l的傾斜角為α，則l的斜率為
用α的三角函式表示點a′、b′的座標，再把這些座標用k表示，以下同解法1．
l的斜率為k．
∵ |oa′|=|oa|=1，
|ob′|=|ob|=8，∠xoa′=-(π-2α)，
∴ 由三角函式的定義，得a′的座標為
xa=|oa′|cos∠xoa′=-cos2α，
ya=|oa′|sin∠xoa′=-sin2α
以下同解法1，從略．
又|ob′|=8，|oa′|=1，從而此題可設極座標方程去解．
【解法3】 如圖1－7，以o為極點，ox為極軸建立極座標系，把x=ρcosθ代入方程y2=2px(p＞0)中，得拋物線的座標方程為
由已知可設點b′的極座標為(8，α)、a′的極座標為(1，
∵ 直線l平分∠bob′，
=8，oa′⊥ob′列出p、t1、t2的方程組，進而去求解．
∵ |oa′|=|oa|=1，|ob′|=|ob|=8，
又由oa′⊥ob′，得koa·kob=-1，
【分析5】 如圖1－7，由於|oa′|=1，|ob′|=8，∠a′
【解法5】 如圖1－7．把直角座標系視為復平面，設點a′
得點b′對應的複數為(x1＋y1i)8i=-8y1+8x1i．
∴ 點a′、b′的座標為
(x1，y1)、(-8y1，8x1)．
把它們分別代入拋物線c的方程y2=2px(p＞0)中，得
即koa'=-2，又|oa′|=1，
以下同解法4，從略．
【分析6】 本題也可以把拋物線的引數方程與複數法結合起來去解．
數乘法的幾何意義，得
由複數相等的條件，得
消去p，解得t2=2．
從而b′的座標為(8p，4p)．
∵線段bb′的中點c的座標為(4p，2p＋4)，
【分析7】 在解法5中，利用複數乘法的幾何意義，發現了a′、b′座標之間的關係式，從而獲得簡解．如圖1－8，點b′與點a′的座標關係也可用平面幾何法得到．
【解法7】 如圖1－8，作a′c⊥ox於c，b′d⊥ox於d．設a′、b′的座標分別為(x1，y1)、(x2，y2)．
∵ ∠b′od＋∠a′oc=90°，
∴ rt△a′co∽rt△odb′．
又|oa′|＝1，|ob′|=8，
∴ |od|＝8|a′c|，|b′d|＝8|oc|．
於是x2=-8y1，y2=8x1．
以下同解法5，從略．
【解說】 本例給出了七種解法．解法1是本題的一般解法，它的關鍵是求點a、b關於l的對稱點的座標．解法2是三角法，它
法3是極座標法，巧妙利用了a′、b′的特殊位置．解法4是利用拋物線的引數方程去解的．解法5和解法7是從尋找a′、b′的座標關係式入手的，分別用複數法和相似形法獲解．解法6把引數法與複數法結合起來，體現了思維的靈活性．總之，本例運用了解析幾何的多種方法，是對學生進行求異思維訓練的極好例題．
(三)逆向思維
在人們的思維活動中，如果把a→b的思維過程看作正向思維的話，那麼就把與之相反的思維過程b→a叫做逆向思維．
在平常的學習中，人們習慣於正向思維，而不善長逆向思維．因此，為了培養思維的多向性和靈活性，就必須加強逆向思維訓練．在解題遇到困難時，若能靈活地進行逆向思維，往往出奇制勝，獲得巧解．
在解析幾何中，培養學生逆向思維能力，要注意逆用解析式的幾何意義、逆用曲線與方程的概念和逆用圓錐曲線的定義．
例4 設a、b是兩個實數，a=，b=，c=是平面xoy內的點焦，討論是否存在a和b，使得：(1)a∩b≠；(2)(a，b)∈c．(2023年全國高考理科試題)
【解】 由已知可得，a、b是否存在等價於混合組
以上二式的幾何意義是：如圖1－9，在平面ao′b中，na＋b=3(n2＋5)是直線，a2＋b2≤144是圓面(即圓x2＋y2=144的邊界及其內部)．因此，這個混合組有解的充要條件是直線na＋b=3(n2+5)與圓a2＋b2=144有公共點，即圓心o′(0，0)到這條直線的距離d≤12．
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