學科方法·引數法
引數觀點是運動、變化思想在數學中的重要體現．引數是解析幾何中最活躍的元素，也是解題的一種主要方法．解析幾何中的許多解題技巧都**於引數觀點．
(一)引數法解題的基本步驟
引數法解題的步驟是：
(1)設參，即選擇適當的引數(引數的個數可取乙個或多個)；
(2)用參，即建立引數方程或含引數的方程；
(3)消參，即通過運算消去引數，使問題得到解決．
例1 已知拋物線y2=2px(p＞0)，在x軸的正半軸上求一點m，使過m的弦p1p2，滿足op1⊥op2．
【解】 如圖2－5，設m(m，0)(m＞0)、p1(x1，y1)、p2(x2，y2)．
∵ op1⊥op2，
即y1y2=-x1x2．
∴ (y1y2)2＝4p2x1x2．
從而(-x1x2)2=4p2x1x2．
∵ x1≠0，x2≠0，
∴ x1x2=4p2 ①
設直線p1p2的方程為y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得
k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0．
由韋達定理，得x1x2=m2 ②
把②代入①中，得m2=(2p)2．
∵ m＞0，p＞0，∴m=2p．
於是所求的點m的座標為(2p，0)．
【解說】 本例選點p1、p2的座標為引數，利用已知條件建立x1，x2，y1，y2，m，p的關係式，消去引數，求得m的值．
op交橢圓於點r，又點q在op上且滿足|oq|·|op|=|or|2．當點p在l上移動時，求動點q的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線．(2023年全國高考理科壓軸題)
【解】 如圖2－6，設動點q(x，y)(x，y不同時為零)．又設|or|=λ|oq|，|op|=u|oq|，(λ，u＞0)，由於q、r、p三點共線，所以點r(λx，λy)、點p(ux，uy)．
∵ |oq|·|op|=|or|2，
∴ u|oq|2=λ2|oq|2．又
|oq|≠0，
同理，由p在l上，可得
於是由①、②、③，可得動點q的軌跡方程為
且長軸平行於x軸的橢圓，去掉座標原點．
利用已知條件|oq|·|op|=|or|2巧妙地消去引數，這裡引數是乙個過渡，起橋梁作用．這種解法比高考命題者提供的答案簡明．
(二)解題技巧的乙個源泉
引數觀點是產生解題技巧的乙個源泉，解析幾何的許多解題技巧都起源於引數．其中「設而不求」和「代點法」就是最突出的兩個．
1．設而不求
例3 如圖2－7，過圓外一點p(a，b)作圓x2＋y2=r2的兩條切線，切點為a、b，求直線ab的方程．
【解】 設a、b的座標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則切線ap、bp的方程分別為x1x+y1y＝r2，x2x+y2y＝r2．
∵ 這兩條切線都過點p(a，b)，
∴ ax1＋by1=r2，
ax2＋by2=r2．
由以上二式可以看出，點a、b在直線ax＋by=r2上，又過a、b只有一條直線，
∴ 直線ab的方程為ax＋by=r2．
【解說】 本例中把a、b的座標作為引數．雖然設了a、b的座標，但並沒有去求它的值，而是利用曲線與方程的概念，巧妙地「消去」引數，這就是所謂的「設而不求」．
2．代點法
例4 求拋物線y2=12x的以m(1，2)為中點的弦所在直線的方程．
【解法1】 設弦的兩個端點為a(x1，y1)、b(x2，y2)，則由中點座標公式，得
y1＋y2＝4 ①
即(y1＋y2)(y1-y2)=12(x1-x2)． ②
即直線ab的斜率k=3．
故直線ab的方程為y-2=3(x-1)．
即 3x-y-1=0．
【解法2】 ∵ 弦的中點為m(1，2)，
∴ 可設弦的兩個端點為a(x，y)、b(2-x，4-y)．
∵ a、b在拋物線上，
∴ y2=12x，(4-y)2=12(2-x)．
以上兩式相減，得
y2-(4-y)2=12(x-2+x)，
即 3x-y-1=0，這就是直線ab的方程．
【解說】 以上兩種解法都叫做代點法．它是先設曲線上有關點的座標，然後代入曲線方程，最後經適當變換而得到所求的結果．
習題2．2
用引數法解證下列各題：
1．已知橢圓9x2＋16y2=144內有一點p(2，1)，以p為中點作弦mn，則直線mn的方程為． [ ]
a．9x-8y＋26＝0
b．9x＋8y-26＝0
c．8x-9y+26=0
d．8x＋9y-26=0
2．點d(5，0)是圓x2＋y2-8x-2y+7=0內一點，過d作兩條互相垂直的射線，交圓於a、b兩點，求弦ab中點m的軌跡方程．
且op⊥oq，求m的值．
4．已知射線oa、ob分別在第
一、四象限，且都與ox軸成60
的軌跡．
5．已知兩點p(-2，2)、q(0，2)以及一條直線l：y=x．設長為
程．(要求把結果寫成普通方程)(2023年全國高考理科試題)
6．已知橢圓的中心在原點，對稱軸合於座標軸，直線y=-x＋1與
習題2．2答案或提示
1．仿例4，選(b)．
2．設m(x，y)，a(x＋x0，y＋y0)，b(x-x0，y-y0)，把a、b
=0．3．仿例1，可得m=3．
5．設a(t，t)，b(t＋1，t＋1)，又設直線pa、pb的斜率分別
x2-y2＋2x-2y＋8=0．
6．設橢圓的方程為ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)，a、b、c的坐
學科方法·待定係數法
(一)求直線和曲線的方程
例1 過直線x-2y-3=0與直線2x-3y-2=0的交點，使它與兩座標軸相交所成的三角形的面積為5，求此直線的方程．
【解】 設所求的直線方程為(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得
依題意，列方程得
於是所求的直線方程為 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．
【解說】 (1)本解法用到過兩直線交點的直線系方程，λ是待定係數．
(2)待定係數法是求直線、圓和圓錐曲線方程的一種基本方法．
例2 如圖2－9，直線l1和l2相交於點m，l1⊥l2，點n∈l1，以a、b為端點的曲線c上的任一點到l2的距離與到點n的距離相等．若
系，求曲線c的方程．(2023年全國高考理科試題)
【解】 如圖2－9，以l1為x軸，mn的垂直平分線為y軸，建立直角座標系．由已知，得曲線c是以點n為焦點、l2為準線的拋物線的一段，其中點a、b為曲線c的端點．
設曲線c的方程為y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分別是a、b的橫座標，p=|mn|．從而m、n
解之，得p=4，x1=1．
故曲線c的方程為y2=8x (1≤x≤4，y＞0)．
(二)**二元二次方程(或高次方程)表示的直線的性質
例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示兩條不重合的直線l1、l2．求：(1)直線l1與l2交角的兩條角平分線方程；(2)直線l1與l2的夾角的大小．
【解】 設l1、l2的方程分別為mx＋ny=0、qx＋py=0，則
ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)．
從而由待定係數法，得
a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．
(1)由點到直線的距離公式，得所求的角平分線方程為
即(m2＋n2)(qx＋py)2=(q2+p2)(mx＋ny)2，
化簡、整理，得
(nq-mp)[(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq＋mp)y2]=0．
∵ l1、l2是兩條不重合的直線
∴b2-4ac＝(mp+nq)2-4mnpq=(mp－nq)2＞0．
即 mp-nq≠0．
從而(nq＋mp)x2＋2(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0．
把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by2＝0．
即為所求的兩條角平分線方程．
(2)顯然當mq＋np=0，即a+c=0時，直線l1與l2垂直，即夾角為90°．
當mq＋np≠0即a＋c≠0時，設l1與l2的夾角為α，則
【解說】 一般地說，研究二元二次(或高次)方程表示的直線的性質，用待定係數法較為簡便．
(三)**二次曲線的性質
1．證明曲線繫過定點
例4 求證：不論引數t取什麼實數值，曲線系(4t2＋t＋1)x2+(t＋1)y2＋4t(t＋1)y-(109t2＋21t+31)=0都過兩個定點，並求這兩個定點的座標．
【證明】 把原方程整理成引數t的方程，得
(4x2＋4y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2＋y2-31=0．
∵ t是任意實數上式都成立，
【解說】 由本例可總結出，證明含有乙個引數t的曲線系f(x，y，t)=0過定點的步驟是：
(1)把f(x，y，t)=0整理成t的方程；
(2)因t是任意實數，所以t的各項係數(包括常數項)都等於零，得x、y的方程組；
(3)解這個方程組，即得定點座標．
2．求圓系的公切線或公切圓
例5 求圓系x2＋y2-2(2m＋1)x-2my＋4m2＋4m＋1=0(m≠0)的公切線方程．
高中數學解題方法
今天先講講高中數學的九大思想 1，函式思想 2，方程思想 3，複數思想 4，換元思想 5，整體思維 6，逆反思維 7，以退求進 8，分類討論 9，數形結合 1，已知方程中，a為正整數，問a取何值時，方程至少有乙個整數根。大部分人第一眼看去就會想到用求根公式，反正我曾經用求根公式的方法沒求出來，我公布...
高中數學解題方法總結
高考數學總複習精品資料 高中數學解題小結大彙總 熟悉這些解題小結論，啟迪解題思路 探求解題佳徑，總結解題方法，防止解題易誤點的產生，對提公升高考數學成績將會起到立竿見影的效果。一 集合與簡易邏輯 1.集合的元素具有無序性和互異性.2.對集合，時，你是否注意到 極端 情況 或 求集合的子集時是否注意到...
高中數學解題基本方法
一 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於 已知或...