五、數學歸納法
歸納是一種有特殊事例匯出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據一類事物中的部分物件具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數學推理論證中是不允許的。
完全歸納推理是在考察了一類事物的全部物件後歸納得出結論來。
數學歸納法是用來證明某些與自然數有關的數學命題的一種推理方法，在解數學題中有著廣泛的應用。它是乙個遞推的數學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎；第二步是假設在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定「對任何自然數（或n≥n且n∈n）結論都正確」。
由這兩步可以看出，數學歸納法是由遞推實現歸納的，屬於完全歸納。
運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題。
運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等。
ⅰ、再現性題組：
1. 用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈n），從「k到k＋1」，左端需乘的代數式為_____。
a. 2k＋1 b. 2(2k＋1) cd.
2. 用數學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，由n＝k (k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的代數式的個數是_____。
a. 2 b. 2－1 c. 2 d. 2＋1
3. 某個命題與自然數n有關，若n＝k (k∈n)時該命題成立，那麼可推得n＝k＋1時該命題也成立。現已知當n＝5時該命題不成立，那麼可推得94年上海高考)
a.當n＝6時該命題不成立 b.當n＝6時該命題成立
c.當n＝4時該命題不成立 d.當n＝4時該命題成立
4. 數列中，已知a＝1，當n≥2時a＝a＋2n－1，依次計算a、a、a後，猜想a的表示式是_____。
a. 3n－2 b. nc. 3 d. 4n－3
5. 用數學歸納法證明3＋5 (n∈n)能被14整除，當n＝k＋1時對於式子3＋5應變形為
6. 設k稜柱有f(k)個對角面，則k＋1稜柱對角面的個數為f(k+1)＝f(k
【簡解】1小題：n＝k時，左端的代數式是(k＋1)(k＋2)…(k＋k),n＝k＋1時，左端的代數式是(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)，所以應乘的代數式為，選b；
2小題：（2－1）－（2－1）＝2，選c；
3小題：原命題與逆否命題等價，若n＝k＋1時命題不成立，則n＝k命題不成立，選c。
4小題：計算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，選b；
5小題：答案（3＋5）3＋5（5－3）；
6小題：答案k－1。
ⅱ、示範性題組：
例1. 已知數列，得，…，，…。s為其前n項和，求s、s、s、s，推測s公式，並用數學歸納法證明。 （93年全國理）
【解】 計算得s＝，s＝，s＝，s＝，
猜測s＝ (n∈n)。
當n＝1時，等式顯然成立；
假設當n＝k時等式成立，即：s＝，
當n＝k＋1時，s＝s＋＝＋＝
＝＝,由此可知，當n＝k＋1時等式也成立。
綜上所述，等式對任何n∈n都成立。
【注】 把要證的等式s＝作為目標，先通分使分母含有(2k＋3)，再考慮要約分，而將分子變形，並注意約分後得到（2k＋3）－1。這樣證題過程中簡潔一些，有效地確定了證題的方向。本題的思路是從試驗、觀察出發，用不完全歸納法作出歸納猜想，再用數學歸納法進行嚴格證明，這是關於探索性問題的常見證法，在數列問題中經常見到。
假如猜想後不用數學歸納法證明，結論不一定正確，即使正確，解答過程也不嚴密。必須要進行三步：試值 → 猜想 → 證明。
【另解】 用裂項相消法求和：
由a＝＝－得，
s＝（11－
＝。此種解法與用試值猜想證明相比，過程十分簡單，但要求發現＝－的裂項公式。可以說，用試值猜想證明三步解題，具有一般性。
例2. 設a＝＋＋…＋ (n∈n),證明： n(n＋1)【分析】與自然數n有關，考慮用數學歸納法證明。
n＝1時容易證得，n＝k＋1時，因為a＝a＋,所以在假設n＝k成立得到的不等式中同時加上，再與目標比較而進行適當的放縮求解。
【解】 當n＝1時，a＝， n(n+1)＝， (n+1)＝2 ，
∴ n＝1時不等式成立。
假設當n＝k時不等式成立，即： k(k＋1)當n＝k＋1時， k(k＋1)＋k(k＋1)＋>k(k＋1)＋(k＋1)＝(k＋1)(k＋3)> (k＋1)(k＋2)，
(k＋1)＋＝(k＋1)＋< (k＋1)＋(k＋)＝(k＋2)，
所以(k＋1)(k＋2) 綜上所述，對所有的n∈n，不等式n(n＋1)【注】 用數學歸納法解決與自然數有關的不等式問題，注意適當選用放縮法。本題中分別將縮小成(k＋1)、將放大成(k＋)的兩步放縮是證n＝k＋1時不等式成立的關鍵。為什麼這樣放縮，而不放大成(k＋2)，這是與目標比較後的要求，也是遵循放縮要適當的原則。
本題另一種解題思路是直接採用放縮法進行證明。主要是抓住對的分析，注意與目標比較後，進行適當的放大和縮小。解法如下：
由》n可得，a>1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)；由例3. 設數列的前n項和為s，若對於所有的自然數n，都有s＝，證明是等差數列。 （94年全國文）
【分析】 要證明是等差數列，可以證明其通項符合等差數列的通項公式的形式，即證：a＝a＋(n－1)d 。命題與n有關，考慮是否可以用數學歸納法進行證明。
【解】 設a－a＝d，猜測a＝a＋(n－1)d
當n＝1時，a＝a， ∴ 當n＝1時猜測正確。
當n＝2時，a＋(2－1)d＝a＋d＝a， ∴當n＝2時猜測正確。
假設當n＝k（k≥2）時，猜測正確，即：a＝a＋(k－1)d ，
當n＝k＋1時，a＝s－s＝－，
將a＝a＋(k－1)d代入上式， 得到2a＝(k＋1)(a＋a)－2ka－k(k－1)d，
整理得(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d，
因為k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1時猜測正確。
綜上所述，對所有的自然數n，都有a＝a＋(n－1)d，從而是等差數列。
【注】 將證明等差數列的問題轉化成證明數學恒等式關於自然數n成立的問題。在證明過程中a的得出是本題解答的關鍵，利用了已知的等式s＝、數列中通項與前n項和的關係a＝s－s建立含a的方程，代入假設成立的式子a＝a＋(k－1)d解出來a。另外本題注意的一點是不能忽視驗證n＝1、n＝2的正確性，用數學歸納法證明時遞推的基礎是n＝2時等式成立，因為由(k－1)a＝(k－1)a＋k(k－1)d得到a＝a＋kd的條件是k≥2。
【另解】 可證a －a＝ a－ a對於任意n≥2都成立：當n≥2時，a＝s－s＝－；同理有a＝s－s＝－；從而a－a＝－n(a＋a)＋，整理得a －a＝ a－ a，從而是等差數列。
一般地，在數列問題中含有a與s時，我們可以考慮運用a＝s－s的關係，並注意只對n≥2時關係成立，象已知數列的s求a一型別題應用此關係最多。
ⅲ、鞏固性題組：
1. 用數學歸納法證明：6＋1 (n∈n)能被7整除。
2. 用數學歸納法證明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈n)。
3. n∈n，試比較2與(n＋1)的大小，並用證明你的結論。
4. 用數學歸納法證明等式：cos·cos·cos·…·cos＝ (81年全國高考)
5. 用數學歸納法證明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈n）。 （85年廣東高考）
6. 數列的通項公式a＝ (n∈n)，設f(n)＝(1－a)(1－a)…(1－a)，試求f(1)、f(2)、f(3)的值，推測出f(n)的值，並用數學歸納法加以證明。
7. 已知數列滿足a＝1，a＝acosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈n)。
①．求a和a； ②.猜測a，並用數學歸納法證明你的猜測。
8. 設f(logx)＝, ①.求f(x)的定義域； ②.
在y＝f(x)的影象上是否存在兩個不同點，使經過這兩點的直線與x軸平行？證明你的結論。 ③.
求證：f(n)>n (n>1且n∈n)
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