1. 前言
2. 美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善於解題。而當我們解題時遇到乙個新問題，總想用熟悉的題型去「套」，這只是滿足於解出來，只有對數學思想、數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法、巧解法。
高考試題十分重視對於數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著重要的數學思想方法。我們要有意識地應用數學思想方法去分析問題解決問題，形成能力，提高數學素質，使自己具有數學頭腦和眼光。
3. 高考試題主要從以下幾個方面對數學思想方法進行考查：
4. 常用數學方法：配方法、換元法、待定係數法、數學歸納法、引數法、消去法等；
5. 數學邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；
6. 數學思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、模擬、歸納和演繹等；
7. 常用數學思想：函式與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想等。
8. 數學思想方法與數學基礎知識相比較，它有較高的地位和層次。數學知識是數學內容，可以用文字和符號來記錄和描述，隨著時間的推移，記憶力的減退，將來可能忘記。
而數學思想方法則是一種數學意識，只能夠領會和運用，屬於思維的範疇，用以對數學問題的認識、處理和解決，掌握數學思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數學知識忘記了，數學思想方法也還是對你起作用。
9. 數學思想方法中，數學基本方法是數學思想的體現，是數學的行為，具有模式化與可操作性的特徵，可以選用作為解題的具體手段。數學思想是數學的靈魂，它與數學基本方法常常在學習、掌握數學知識的同時獲得。
10. 可以說，「知識」是基礎，「方法」是手段，「思想」是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是「能力」。
11. 為了幫助學生掌握解題的密鑰匙，掌握解題的思想方法，本書先是介紹高考中常用的數學基本方法：配方法、換元法、待定係數法、數學歸納法、引數法、消去法、反證法、分析與綜合法、特殊與一般法、模擬與歸納法、觀察與實驗法，再介紹高考中常用的數學思想：
函式與方程思想、數形結合思想、分類討論思想、轉化（化歸）思想。最後談談解題中的有關策略和高考中的幾個熱點問題，並在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。
12. 在每節的內容中，先是對方法或者問題進行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現。再現性題組是一組簡單的選擇填空題進行方法的再現，示範性題組進行詳細的解答和分析，對方法和問題進行示範。
鞏固性題組旨在檢查學習的效果，起到鞏固的作用。每個題組中習題的選取，又盡量綜合到代數、三角、幾何幾個部分重要章節的數學知識。
第一章高中數學解題基本方法
13. 配方法
14. 配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成「完全平方」）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當**，並且合理運用「裂項」與「添項」、「配」與「湊」的技巧，從而完成配方。
有時也將其稱為「湊配法」。
15. 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於：
已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函式、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。
16. 配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：
17. a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
18. a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
19. a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
20. a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
21. 結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：
22. 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
23. x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
24. ⅰ、再現性題組：
1. 在正項等比數列中，aa+2aa+aa=25，則 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。
25. a. 1 c. k∈r d. k＝或k＝1
3. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。
26. a. 1b. －1c. 1或－1 d. 0
4. 函式y＝log (－2x＋5x＋3)的單調遞增區間是_____。
27. abcd. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點p(x,x)在圓x+y=4上，則實數a＝_____。
28. 【簡解】 1小題：利用等比數列性質aa＝a，將已知等式左邊後配方（a＋a）易求。答案是：5。
29. 2小題：配方成圓的標準方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選b。
30. 3小題：已知等式經配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然後求出所求式的平方值，再開方求解。選c。
31. 4小題：配方後得到對稱軸，結合定義域和對數函式及復合函式的單調性求解。選d。
32. 5小題：答案3－。
33. ⅱ、示範性題組：
例1. 已知長方體的全面積為11，其12條稜的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____。
34. a. 2bc. 5d. 6
35. 【分析】 先轉換為數學表示式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。
36. 【解】設長方體長寬高分別為x,y,z，由已知「長方體的全面積為11，其12條稜的長度之和為24」而得：。
37. 長方體所求對角線長為：＝＝＝5
38. 所以選b。
39. 【注】本題解答關鍵是在於將兩個已知和乙個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發現使用配方法將三個數學式進行聯絡，即聯絡了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。
例2. 設方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若()+()≤7成立，求實數k的取值範圍。
40. 【解】方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
417， 解得k≤－或k≥ 。
42. 又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2
43. 綜合起來，k的取值範圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。
44. 【注】 關於實係數一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式「δ」；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p＋q、pq後，觀察已知不等式，從其結構特徵聯想到先通分後配方，表示成p＋q與pq的組合式。
假如本題不對「△」討論，結果將出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對「△」的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。
例3. 設非零複數a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋() 。
45. 【分析】 對已知式可以聯想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab 。則代入所求式即得。
46. 【解】由a＋ab＋b=0變形得：()＋()＋1＝0 ，
47. 設ω＝，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝1。
48. 又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab ，
49. 所以2 。
50. 【注】 本題通過配方，簡化了所求的表示式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質，計算表示式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善於聯想和展開。
51. 【另解】由a＋ab＋b＝0變形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝後，化成三角形式，代入所求表示式的變形式()＋()後，完成後面的運算。此方法用於只是未聯想到ω時進行解題。
52. 假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表示式，進行分式化簡後，化成複數的三角形式，利用棣莫佛定理完成最後的計算。
53. ⅲ、鞏固性題組：
54. 函式y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數）的最小值為_____。
55. a. 8 b. c. d.最小值不存在
56. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實根，則(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
57. a. － b. 8 c. 18 d.不存在
58. 已知x、y∈r，且滿足x＋3y－1＝0，則函式t＝2＋8有_____。
59. a.最大值2 b.最大值 c.最小值2 b.最小值
60. 橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的乙個焦點在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。
61. a. 2 b. －6 c. －2或－6 d. 2或6
62. 化簡：2＋的結果是_____。
63. a. 2sin4 b. 2sin4－4cos4 c. －2sin4 d. 4cos4－2sin4
6. 設f和f為雙曲線－y＝1的兩個焦點，點p在雙曲線上且滿足∠fpf＝90°，則△fpf的面積是
7. 若x>－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為
8. 已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題)
9. 設二次函式f(x)＝ax＋bx＋c，給定m、n（m64. 解不等式f(x)>0；
65. ② 是否存在乙個實數t，使當t∈(m+t,n-t)時，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值範圍。
10. 設s>1，t>1，m∈r，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
66. 將y表示為x的函式y＝f(x)，並求出f(x)的定義域；
67. 若關於x的方程f(x)＝0有且僅有乙個實根，求m的取值範圍。
68. 二、換元法
69. 解數學題時，把某個式子看成乙個整體，用乙個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究物件，將問題移至新物件的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。
70. 換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯絡起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯絡起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。
高中數學解題思路
基本方法 一 配方法 配方法是對數學式子進行一種定向變形 配成 完全平方 的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當 並且合理運用 裂項 與 添項 配 與 湊 的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為 湊配法 最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用...
高中數學解題方法
今天先講講高中數學的九大思想 1，函式思想 2，方程思想 3，複數思想 4，換元思想 5，整體思維 6，逆反思維 7，以退求進 8，分類討論 9，數形結合 1，已知方程中，a為正整數，問a取何值時，方程至少有乙個整數根。大部分人第一眼看去就會想到用求根公式，反正我曾經用求根公式的方法沒求出來，我公布...
高中數學解題方法總結
高考數學總複習精品資料 高中數學解題小結大彙總 熟悉這些解題小結論，啟迪解題思路 探求解題佳徑，總結解題方法，防止解題易誤點的產生，對提公升高考數學成績將會起到立竿見影的效果。一 集合與簡易邏輯 1.集合的元素具有無序性和互異性.2.對集合，時，你是否注意到 極端 情況 或 求集合的子集時是否注意到...