基本方法
一、 配方法
配方法是對數學式子進行一種定向變形（配成「完全平方」）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯絡，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當**，並且合理運用「裂項」與「添項」、「配」與「湊」的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為「湊配法」。
最常見的配方是進行恒等變形，使數學式子出現完全平方。它主要適用於：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函式、二次代數式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。
配方法使用的最基本的配方依據是二項完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，將這個公式靈活運用，可得到各種基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
結合其它數學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
ⅰ、再現性題組：
1. 在正項等比數列中，a a+2a a+a a=25，則 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圓的充要條件是_____。
a. 1 c. k∈r d. k＝或k＝1
3. 已知sinα＋cosα＝1，則sinα＋cosα的值為______。
a. 1b. －1c. 1或－1 d. 0
4. 函式y＝log (－2x＋5x＋3)的單調遞增區間是_____。
abcd. [,3)
5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的兩根x、x，則點p(x,x)在圓x+y=4上，則實數a＝_____。
【簡解】 1小題：利用等比數列性質aa＝a，將已知等式左邊後配方（a＋a）易求。答案是：5。
2小題：配方成圓的標準方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，選b。
3小題：已知等式經配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出sinαcosα，然後求出所求式的平方值，再開方求解。選c。
4小題：配方後得到對稱軸，結合定義域和對數函式及復合函式的單調性求解。選d。
5小題：答案3－。
ⅱ、示範性題組：
例1. 已知長方體的全面積為11，其12條稜的長度之和為24，則這個長方體的一條對角線長為_____。
a. 2bc. 5d. 6
【分析】 先轉換為數學表示式：設長方體長寬高分別為x,y,z，則 ,而欲求對角線長，將其配湊成兩已知式的組合形式可得。
【解】設長方體長寬高分別為x,y,z，由已知「長方體的全面積為11，其12條稜的長度之和為24」而得：。
長方體所求對角線長為：＝＝＝5
所以選b。
【注】本題解答關鍵是在於將兩個已知和乙個未知轉換為三個數學表示式，觀察和分析三個數學式，容易發現使用配方法將三個數學式進行聯絡，即聯絡了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。
例2. 設方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，若()+()≤7成立，求實數k的取值範圍。
【解】方程x＋kx＋2=0的兩實根為p、q，由韋達定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
7， 解得k≤－或k≥ 。
又 ∵p、q為方程x＋kx＋2=0的兩實根， ∴ △＝k－8≥0即k≥2或k≤－2
綜合起來，k的取值範圍是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。
【注】 關於實係數一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式「δ」；已知方程有兩根時，可以恰當運用韋達定理。本題由韋達定理得到p＋q、pq後，觀察已知不等式，從其結構特徵聯想到先通分後配方，表示成p＋q與pq的組合式。假如本題不對「△」討論，結果將出錯，即使有些題目可能結果相同，去掉對「△」的討論，但解答是不嚴密、不完整的，這一點我們要尤為注意和重視。
例3. 設非零複數a、b滿足a＋ab＋b=0，求()＋() 。
【分析】 對已知式可以聯想：變形為()＋()＋1＝0，則＝ω （ω為1的立方虛根）；或配方為(a＋b)＝ab 。則代入所求式即得。
【解】由a＋ab＋b=0變形得：()＋()＋1＝0 ，
設ω＝，則ω＋ω＋1＝0，可知ω為1的立方虛根，所以：＝，ω＝＝1。
又由a＋ab＋b=0變形得：(a＋b)＝ab ，
所以2 。
【注】 本題通過配方，簡化了所求的表示式；巧用1的立方虛根，活用ω的性質，計算表示式中的高次冪。一系列的變換過程，有較大的靈活性，要求我們善於聯想和展開。
【另解】由a＋ab＋b＝0變形得：()＋()＋1＝0 ，解出＝後，化成三角形式，代入所求表示式的變形式()＋()後，完成後面的運算。此方法用於只是未聯想到ω時進行解題。
假如本題沒有想到以上一系列變換過程時，還可由a＋ab＋b＝0解出：a＝b，直接代入所求表示式，進行分式化簡後，化成複數的三角形式，利用棣莫佛定理完成最後的計算。
ⅲ、鞏固性題組：
1. 函式y＝(x－a)＋(x－b) （a、b為常數）的最小值為_____。
a. 8 b. c. d.最小值不存在
2. α、β是方程x－2ax＋a＋6＝0的兩實根，則(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
a. － b. 8 c. 18 d.不存在
3. 已知x、y∈r，且滿足x＋3y－1＝0，則函式t＝2＋8有_____。
a.最大值2 b.最大值 c.最小值2 b.最小值
4. 橢圓x－2ax＋3y＋a－6＝0的乙個焦點在直線x＋y＋4＝0上，則a＝_____。
a. 2 b. －6 c. －2或－6 d. 2或6
5. 化簡：2＋的結果是_____。
a. 2sin4 b. 2sin4－4cos4 c. －2sin4 d. 4cos4－2sin4
6. 設f和f為雙曲線－y＝1的兩個焦點，點p在雙曲線上且滿足∠fpf＝90°，則△fpf的面積是
7. 若x>－1，則f(x)＝x＋2x＋的最小值為
8. 已知〈β<α〈π，cos(α-β)＝，sin(α+β)＝－，求sin2α的值。(92年高考題)
9. 設二次函式f(x)＝ax＋bx＋c，給定m、n（m1 解不等式f(x)>0；
② 是否存在乙個實數t，使當t∈(m+t,n-t)時，f(x)<0 ？若不存在，說出理由；若存在，指出t的取值範圍。
10. 設s>1，t>1，m∈r，x＝logt＋logs，y＝logt＋logs＋m(logt＋logs),
1 將y表示為x的函式y＝f(x)，並求出f(x)的定義域；
2 若關於x的方程f(x)＝0有且僅有乙個實根，求m的取值範圍。
二、換元法
解數學題時，把某個式子看成乙個整體，用乙個變數去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究物件，將問題移至新物件的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、複雜問題簡單化，變得容易處理。
換元法又稱輔助元素法、變數代換法。通過引進新的變數，可以把分散的條件聯絡起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯絡起來。或者變為熟悉的形式，把複雜的計算和推證簡化。
它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數式，在研究方程、不等式、函式、數列、三角等問題中有廣泛的應用。
換元的方法有：區域性換元、三角換元、均值換元等。區域性換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數式幾次出現，而用乙個字母來代替它從而簡化問題，當然有時候要通過變形才能發現。
例如解不等式：4＋2－2≥0，先變形為設2＝t（t>0），而變為熟悉的一元二次不等式求解和指數方程的問題。
三角換元，應用於去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數式中與三角知識中有某點聯絡進行換元。如求函式y＝＋的值域時，易發現x∈[0,1]，設x＝sinα ，α∈[0,]，問題變成了熟悉的求三角函式值域。為什麼會想到如此設，其中主要應該是發現值域的聯絡，又有去根號的需要。
如變數x、y適合條件x＋y＝r（r>0）時，則可作三角代換x＝rcosθ、y＝rsinθ化為三角問題。
均值換元，如遇到x＋y＝s形式時，設x＝＋t，y＝－t等等。
我們使用換元法時，要遵循有利於運算、有利於標準化的原則，換元後要注重新變數範圍的選取，一定要使新變數範圍對應於原變數的取值範圍，不能縮小也不能擴大。如上幾例中的t>0和α∈[0,]。
ⅰ、再現性題組：
的最大值是
2.設f(x＋1)＝log(4－x) （a>1），則f(x)的值域是
3.已知數列中，a＝－1，a·a＝a－a，則數列通項a
4.設實數x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值範圍是
5.方程＝3的解是
6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是
【簡解】1小題：設sinx+cosx＝t∈[－,]，則y＝＋t－，對稱軸t＝－1，當t＝，y＝＋；
2小題：設x＋1＝t (t≥1)，則f(t)＝log[-(t-1)＋4]，所以值域為(－∞,log4]；
3小題：已知變形為－＝－1,設b＝，則b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；
4小題：設x＋y＝k，則x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小題：設3＝y，則3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
6小題：設log(2－1)＝y，則y(y＋1)<2，解得－2 1.前言 2.美國著名數學教育家波利亞說過，掌握數學就意味著要善於解題。而當我們解題時遇到乙個新問題，總想用熟悉的題型去 套 這只是滿足於解出來，只有對數學思想 數學方法理解透徹及融會貫通時，才能提出新看法 巧解法。高考試題十分重視對於數學思想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過程都蘊含著... 今天先講講高中數學的九大思想 1，函式思想 2，方程思想 3，複數思想 4，換元思想 5，整體思維 6，逆反思維 7，以退求進 8，分類討論 9，數形結合 1，已知方程中，a為正整數，問a取何值時，方程至少有乙個整數根。大部分人第一眼看去就會想到用求根公式，反正我曾經用求根公式的方法沒求出來，我公布... 怎樣解題 表 第一，你必須弄清問題。弄清問題 未知數是什麼？已知資料 指已知數 已知圖形和已知事項等的統稱 是什麼？條件是什麼？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？畫張圖。引入適當的符號。把條件的各個部分分開。你能否把它們寫下來？第二，找出已知...高中數學解題思路和方法
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