南漳縣第一中學鄒國富徐云飛
摘要：數學教學有大部分時間都在訓練學生做題，但老師在收放之間，尺度深淺之中，小結提高之際，該如何掌控，怎樣才能做到有的放矢，游刃有餘？必須深入題海，煉就一身過硬本領，先度已後度人，一般來說從不會到會，從生到熟，從淺到深，需要經歷三個境界。
又是一年高三複習時，老師與學生們都忙得不亦樂乎，忙著深入題海，尋找知識上的遺漏點，方法上的缺陷點，精神上的懈怠點，心態上的平衡點，解題、選題之餘，掩卷沉思，題目千萬道，如何才能做到眼到心到，心到手到，手到分到呢？解題過程是一種鍊心的過程，只有經歷三境界方能產生質的飛躍。
第一層境界：模仿
人在初接觸一類新事物、新題目時，需要進行模仿訓練，模仿題型，模仿知識呈現形式，模仿題目的結論形式等等，這一過程要求老師強調例題講述過程，如何引導學生堆砌條件，完成充分條件的羅列，最終把結果推導出來；學生需要側重的是弄清例題要解決哪一類問題，需要哪些知識儲備作支撐，用什麼理論去推導。拿函式這一章內容來說，2023年山東出了一道高考題:「定義在r上的奇函式f(x)滿足f(x-4)=-f(x),且在區間[0,2]上為增函式，則（ ）.
這一題專門考查函式三性質——單調性，奇偶性，週期性，把三性質輔以影象加以考查，在解題過程中，通過恒等變換，得出週期為8，x=-2為對稱軸，這樣，函式草圖就呼之欲出了，三數大小關係立即判了出來。相應地，２０１４年瓊海市高三模擬試題也出了個相應問題：已知函式f(x)是定義在r上的奇函式，且滿足f(x+2)=-f(x),當0<=x<=1時,f(x)=x/2,則滿足f(x)=-1/2的x的值是（ ）。
（n是正整數）。
a.2n. b.2n-1. c.4n+1. d.4n-1.
另外，山東淄博檢測有題：已知f(x)在實數集r上具有下列性質：(1)直線x=1是函式的一條對稱軸，(2)f(x+2)=-f(x),(3)1<=x1 只要把第一例題講透弄明，後兩個題就依葫蘆畫瓢就可以了。
第二境界：融合
融合，就是把不同章節知識點綜合考查，這一層次講求知識熟練，能融會貫通。這一過程對老師來說要強調知識點的跳躍與銜接，概念的拓展與轉換；對學生要求較高，側重於知識的回顧與概念遷移、重塑及方法技巧的積累。
拿平面向量來說，湖南省有一道高考題，設三個向量a,b,c滿足a,b模長為1，向量a與向量b的積為-1/2，向量a-c與向量b-c所成的角為60度，求向量c的最大值=（ ）。
a.2 b. c. d.1
向量的出現是為了解決解析幾何問題的，把幾何問題數位化，數形結合是它常用的解題方法，由向量a,b的模長相等為1聯想到單位圓，夾角為120度，而由圓內接四邊形對互補，畫出圖形即可得出答案。 。
再如講解導數定積分時，引入了幾何意義，這就為有些題解決提供了新思路，如：若f(x)= 求的值。直接借助幾何意義就可算出來了。
再如，講三角函式時，有題目「若cosa+2sina=-,則tana=（ ）。a.1/2. b.2 c.-1/2. d.2.
當有同學侷限於三角函式基本關係式求解時，有些學生就看出了柯西不等式的影子，利用(1cosa+2sina) <=()(),取等號時要=,得出現答案;還有學生發現f(x)=cosx+2sinx=sin(x+),能取最小值-,必有(x)=-sinx+2cosx=0,也輕鬆求解。
任何問題，多法的求解，必基於知識的嫻熟和思維的跳躍，即要對知識技能加以融合，方能達到這一境界。
第三境界：構造
當學生經歷了前兩層境界的磨礪後，一些基礎知識嫻熟了，一些基本解題技巧通透了，但遇到位一些爬坡題時，仍會頭皮冒汗。怎麼突破這一瓶頸呢？還需要在構造創新上下功夫，解題只知模仿不會獨立，只知融合流於奔波，只有精於構造方能自我突破，上公升乙個層次。
２０１１年遼寧高考壓軸題，設f(x)=x+a+blnx, 曲線y=f(x)過點p(1,0)且在p點處切線斜率為２（１）求a,b.（２）證明:f(x)<=2x-2. 。
最後一問構造f(x)=f(x)-(2x-2),通過導數論證函式最大值小於等於０即可。
相似地，２０１２年湖北高考壓軸大題：設f(x)=a (1-x)+b,(x>0),n為正整數，a,b為常數，曲線y=f(x)在（1，f（1））處的切線方程為x+y=1,(1)求a,b.(2)求f(x)最大值。
（3）證明：f(x)< .
第（３）問需要構造新函式f(x)=lnx-1+,f (x)= (x>0).在（0,1）上，f (x)<0, f(x)單調遞減；在（1，+）上，f (x)>0, f(x)單調遞增，f(x)在（0，+）上的最小值為f(1)=0，所以f(x)>0,lnx>1- (x>1),設t=1+,ln>,所以ln()>lne,所以（>e, <,所以f(x)<= <.
近年來，各地相繼出現了一類新的題型，有專家稱為創新題或閱讀理解題，其核心理念是要求學生根據新概念，融合舊知識，利用構造創新出解決問題的方法，這種趨勢值得我們深思。
【1】 王曉東。高三複習課中的「課題研究式」教學【j】.中國數學教育（高中版），2010（6）:63-65.
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【3】 周友良，鄧昇平。數形結合思想在解題中的應用【j】。中學數學月刊，2005（9）：46-47.
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