三、待定係數法
要確定變數間的函式關係,設出某些未知係數,然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法,其理論依據是多項式恒等,也就是利用了多項式f(x) g(x)的充要條件是:對於乙個任意的a值,都有f(a) g(a);或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。
待定係數法解題的關鍵是依據已知,正確列出等式或方程。使用待定係數法,就是把具有某種確定形式的數學問題,通過引入一些待定的係數,轉化為方程組來解決,要判斷乙個問題是否用待定係數法求解,主要是看所求解的數學問題是否具有某種確定的數學表示式,如果具有,就可以用待定係數法求解。例如分解因式、拆分分式、數列求和、求函式式、求複數、解析幾何中求曲線方程等,這些問題都具有確定的數學表達形式,所以都可以用待定係數法求解。
使用待定係數法,它解題的基本步驟是:
第一步,確定所求問題含有待定係數的解析式;
第二步,根據恒等的條件,列出一組含待定係數的方程;
第三步,解方程組或者消去待定係數,從而使問題得到解決。
如何列出一組含待定係數的方程,主要從以下幾方面著手分析:
1 利用對應係數相等列方程;
2 由恒等的概念用數值代入法列方程;
3 利用定義本身的屬性列方程;
4 利用幾何條件列方程。
比如在求圓錐曲線的方程時,我們可以用待定係數法求方程:首先設所求方程的形式,其中含有待定的係數;再把幾何條件轉化為含所求方程未知係數的方程或方程組;最後解所得的方程或方程組求出未知的係數,並把求出的係數代入已經明確的方程形式,得到所求圓錐曲線的方程。
ⅰ、再現性題組:
1. 設f(x)=+m,f(x)的反函式f (x)=nx-5,那麼m、n的值依次為_____。
a., -2 b. -, 2 c. , 2 d. -,-2
2. 二次不等式ax+bx+2>0的解集是(-,),則a+b的值是_____。
a. 10 b. -10 c. 14 d. -14
3. 在(1-x)(1+x)的展開式中,x的係數是_____。
a. -297 b.-252 c. 297 d. 207
4. 函式y=a-bcos3x (b<0)的最大值為,最小值為-,則y=-4asin3bx的最小正週期是_____。
5. 與直線l:2x+3y+5=0平行且過點a(1,-4)的直線l』的方程是
6. 與雙曲線x-=1有共同的漸近線,且過點(2,2)的雙曲線的方程是
【簡解】1小題:由f(x)=+m求出f (x)=2x-2m,比較係數易求,選c;
2小題:由不等式解集(-,),可知-、是方程ax+bx+2=0的兩根,代入兩根,列出關於係數a、b的方程組,易求得a+b,選d;
3小題:分析x的係數由c與(-1)c兩項組成,相加後得x的係數,選d;
4小題:由已知最大值和最小值列出a、b的方程組求出a、b的值,再代入求得答案;
5小題:設直線l』方程2x+3y+c=0,點a(1,-4)代入求得c=10,即得2x+3y+10=0;
6小題:設雙曲線方程x-=λ,點(2,2)代入求得λ=3,即得方程-=1。
ⅱ、示範性題組:
例1. 已知函式y=的最大值為7,最小值為-1,求此函式式。
【分析】求函式的表示式,實際上就是確定係數m、n的值;已知最大值、最小值實際是就是已知函式的值域,對分子或分母為二次函式的分式函式的值域易聯想到「判別式法」。
【解】 函式式變形為: (y-m)x-4x+(y-n)=0, x∈r, 由已知得y-m≠0
∴ △=(-4)-4(y-m)(y-n)≥0 即: y-(m+n)y+(mn-12)≤0 ①
不等式①的解集為(-1,7),則-1、7是方程y-(m+n)y+(mn-12)=0的兩根,
代入兩根得: 解得:或
∴ y=或者y=
此題也可由解集(-1,7)而設(y+1)(y-7)≤0,即y-6y-7≤0,然後與不等式①比較係數而得:,解出m、n而求得函式式y。
【注】 在所求函式式中有兩個係數m、n需要確定,首先用「判別式法」處理函式值域問題,得到了含引數m、n的關於y的一元二次不等式,且知道了它的解集,求引數m、n。兩種方法可以求解,一是視為方程兩根,代入後列出m、n的方程求解;二是由已知解集寫出不等式,比較含引數的不等式而列出m、n的方程組求解。本題要求對一元二次不等式的解集概念理解透徹,也要求理解求函式值域的「判別式法」:
將y視為引數,函式式化成含引數y的關於x的一元二次方程,可知其有解,利用△≥0,建立了關於引數y的不等式,解出y的範圍就是值域,使用「判別式法」的關鍵是否可以將函式化成乙個一元二次方程。
例2. 設橢圓中心在(2,-1),它的乙個焦點與短軸兩端連線互相垂直,且此焦點與長軸較近的端點距離是-,求橢圓的方程。
y b』
x a f o』 f』 a』
b【分析】求橢圓方程,根據所給條件,確定幾何資料a、b、c之值,問題就全部解決了。設a、b、c後,由已知垂直關係而聯想到勾股定理建立乙個方程,再將焦點與長軸較近端點的距離轉化為a-c的值後列出第二個方程。
【解】 設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c,則|bf』|=a
解得:∴ 所求橢圓方程是:+=1
也可有垂直關係推證出等腰rt△bb』f』後,由其性質推證出等腰rt△b』o』f』,再進行如下列式: ,更容易求出a、b的值。
【注】 圓錐曲線中,引數(a、b、c、e、p)的確定,是待定係數法的生動體現;如何確定,要抓住已知條件,將其轉換成表示式。在曲線的平移中,幾何資料(a、b、c、e)不變,本題就利用了這一特徵,列出關於a-c的等式。
一般地,解析幾何中求曲線方程的問題,大部分用待定係數法,基本步驟是:設方程(或幾何資料)→幾何條件轉換成方程→求解→已知係數代入。
例3. 是否存在常數a、b、c,使得等式1·2+2·3+…+n(n+1)=(an+bn+c)對一切自然數n都成立?並證明你的結論。 (89年全國高考題)
【分析】是否存在,不妨假設存在。由已知等式對一切自然數n都成立,取特殊值n=1、2、3列出關於a、b、c的方程組,解方程組求出a、b、c的值,再用數學歸納法證明等式對所有自然數n都成立。
【解】假設存在a、b、c使得等式成立,令:n=1,得4=(a+b+c);n=2,得22=(4a+2b+c);n=3,得70=9a+3b+c。整理得:
,解得,
於是對n=1、2、3,等式1·2+2·3+…+n(n+1)=(3n+11n+10)成立,下面用數學歸納法證明對任意自然數n,該等式都成立:
假設對n=k時等式成立,即1·2+2·3+…+k(k+1)=(3k+11k+10);
當n=k+1時,1·2+2·3+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)=(3k+11k+10) +(k+1)(k+2)=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)=(3k+5k+12k+24)=[3(k+1)+11(k+1)+10],
也就是說,等式對n=k+1也成立。
綜上所述,當a=8、b=11、c=10時,題設的等式對一切自然數n都成立。
【注】建立關於待定係數的方程組,在於由幾個特殊值代入而得到。此種解法中,也體現了方程思想和特殊值法。對於是否存在性問題待定係數時,可以按照先試值、再猜想、最後歸納證明的步驟進行。
本題如果記得兩個特殊數列1+2+…+n、1+2+…+n求和的公式,也可以抓住通項的拆開,運用數列求和公式而直接求解:由n(n+1)=n+2n+n得s=1·2+2·3+…+n(n+1)=(1+2+…+n)+2(1+2+…+n)+(1+2+…+n)=+2×+=(3n+11n+10),綜上所述,當a=8、b=11、c=10時,題設的等式對一切自然數n都成立。
例4. 有矩形的鐵皮,其長為30cm,寬為14cm,要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形,將剩餘部分折成乙個無蓋的矩形盒子,問x為何值時,矩形盒子容積最大,最大容積是多少?
【分析】實際問題中,最大值、最小值的研究,先由已知條件選取合適的變數建立目標函式,將實際問題轉化為函式最大值和最小值的研究。
【解】 依題意,矩形盒子底邊邊長為(30-2x)cm,底邊寬為(14-2x)cm,高為xcm。
∴ 盒子容積 v=(30-2x)(14-2x)x=4(15-x)(7-x)x ,
顯然:15-x>0,7-x>0,x>0。
設v=(15a-ax)(7b-bx)x (a>0,b>0)
要使用均值不等式,則
解得:a=, b=, x=3 。
從而v=(-)(-x)x≤()=×27=576。
所以當x=3時,矩形盒子的容積最大,最大容積是576cm。
【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件,當條件不滿足時要湊配係數,可以用「待定係數法」求。本題解答中也可以令v=(15a-ax)(7-x)bx 或 (15-x)(7a-ax)bx,再由使用均值不等式的最佳條件而列出方程組,求出三項該進行湊配的係數,本題也體現了「湊配法」和「函式思想」。
ⅲ、鞏固性題組:
1. 函式y=logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,則a的取值範圍是_____。
a. 2>a>且a≠1 b. 02或02. 方程x+px+q=0與x+qx+p=0只有乙個公共根,則其餘兩個不同根之和為_____。
a. 1b. -1 c. p+q d. 無法確定
3. 如果函式y=sin2x+a·cos2x的影象關於直線x=-對稱,那麼a=_____。
abc. 1d. -1
4. 滿足c+1·c+2·c+…+n·c<500的最大正整數是_____。
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
5. 無窮等比數列的前n項和為s=a-, 則所有項的和等於_____。
待定係數法 高中數學解題基本方法
要確定變數間的函式關係,設出某些未知係數,然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法,其理論依據是多項式恒等,也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值,都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知,正確列出等式或方程。使...
高中數學解題基本方法 待定係數法
要確定變數間的函式關係,設出某些未知係數,然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法,其理論依據是多項式恒等,也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值,都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知,正確列出等式或方程。使...
高中數學解題基本方法之待定係數法
三 待定係數法 要確定變數間的函式關係,設出某些未知係數,然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法,其理論依據是多項式恒等,也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值,都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知,正確列...