三、待定係數法
要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等。它解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程，主要從以下幾方面著手分析：①利用對應係數相等列方程；②由恒等的概念用數值代入法列方程；③利用定義本身的屬性列方程；④利用幾何條件列方程。
ⅰ、再現性題組：
1. 設f(x)＝＋m，f(x)的反函式f (x)＝nx－5，那麼m、n的值依次為_____。
a., －2 b. －， 2 c. , 2 d. －，－2
2. 二次不等式ax＋bx＋2>0的解集是(－,)，則a＋b的值是_____。
a. 10 b. －10 c. 14 d. －14
3. 在(1－x)（1＋x）的展開式中，x的係數是_____。
a. －297 b.－252 c. 297 d. 207
4. 函式y＝a－bcos3x (b<0)的最大值為，最小值為－，則y＝－4asin3bx的最小正週期是_____。
5. 與直線l：2x＋3y＋5＝0平行且過點a(1,-4)的直線l』的方程是
6. 與雙曲線x－＝1有共同的漸近線，且過點(2,2)的雙曲線的方程是
ⅱ、示範性題組：
例1. 已知函式y＝的最大值為7，最小值為－1，求此函式式。
【解】 函式式變形為： (y－m)x－4x＋(y－n)＝0， x∈r, 由已知得y－m≠0
∴ △＝(－4)－4(y－m)(y－n)≥0 即： y－(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ①
不等式①的解集為(-1,7)，則解得：或∴ y＝…
（也可： 由解集(-1,7)而設(y＋1)(y－7)≤0,然後與不等式①比較係數而得。）
【注】 待定係數m、n，用判別式法處理值域問題，轉化成不等式已知解集後而求係數。
y b』
x a f o』 f』 a』
b例2. 設橢圓中心在(2,-1)，它的乙個焦點與短軸兩端連線互相垂直，且此焦點與長軸較近的端點距離是－，求橢圓的方程。
【解】 設橢圓長軸2a、短軸2b、焦距2c，則|bf』|＝a
解得：∴ 橢圓方程是：…
也可：（最簡列式） , 即抓住等腰rt△bb』f』的性質。
【注】 圓錐曲線中，引數（a、b、c、e、p）的確定，是待定係數法的生動體現；如何確定，要抓住已知條件轉換成表示式；曲線平移中，幾何資料（a、b、c、e）不變。解析幾何中求曲線方程的問題，大部分用待定係數法，基本步驟是：設方程（或幾何資料）→幾何條件轉換成方程→求解→已知係數代入。
例3. 是否存在常數a、b、c，使得等式1·2＋2·3＋…＋n(n＋1)＝(an＋bn＋c)對一切自然數n都成立？並證明你的結論。 （89年全國理）
【分析】 先由特殊值n＝1、2、3列出三個等式解出a、b、c，再用數學歸納法證明。
【解】【注】存在性問題待定係數時，按照：試值→猜想→歸納證明的步驟進行。
例4. 有矩形的鐵皮，其長為30cm，寬為14cm，要從四角上剪掉邊長為xcm的四個小正方形，將剩餘部分折成乙個無蓋的矩形盒子，問x為何值時，矩形盒子容積最大，最大容積是多少？
【解】 依題意，矩形盒子底邊邊長為(30－2x)cm，底邊寬為(14－2x)cm，高為xcm。
∴ 盒子容積 v＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x （顯然:15-x>0,7-x>0,x>0）
設v＝(15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0） 要用均值不等式，則
解得：a＝， b＝， x＝3 。 從而v＝… ≤ …
也可：令v＝(15a－ax)(7－x)bx 或(15－x)(7a－ax)bx
【注】均值不等式應用時要注意等號成立的條件，當條件不滿足時要湊配係數，可以待定係數法求。
ⅲ、鞏固性題組：
1. 函式y＝logx的x∈[2,+∞)上恒有|y|>1，則a的取值範圍是_____。
a. 2>a>且a≠1 b. 02或02. 方程x＋px＋q＝0與x＋qx＋p＝0只有乙個公共根，則其餘兩個不同根之和為_____。
a. 1b. －1 c. p＋q d. 無法確定
3. 如果函式y＝sin2x＋a·cos2x的影象關於直線x＝－對稱，那麼a＝_____。
abc. 1d. －1
4. 滿足c＋1·c＋2·c＋…＋n·c<500的最大正整數是_____。
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
5. 無窮等比數列的前n項和為s＝a－, 則所有項的和等於_____。
ab. 1 cd.與a有關
6. (1＋kx)＝b＋bx＋bx＋…＋bx，若b＋b＋b＋…＋b＝－1，則k＝______。
7. 經過兩直線11x－3y－9＝0與12x＋y－19＝0的交點，且過點(3,-2)的直線方程為
8. 正三稜錐底面邊長為2，側稜和底面所成角為60°，過底面一邊作截面，使其與底面成30°角，則截面面積為
9. 設y＝f(x)是一次函式，已知f(8)＝15,且f(2)、f(5)、(f14)成等比數列，求f(1)＋f(2)＋…＋f(m)的值。
10. 設拋物線經過兩點(-1,6)和(-1,-2)，對稱軸與x軸平行，開口向右，直線y＝2x＋7和拋物線截得的線段長是4, 求拋物線的方程。
高中數學解題基本方法待定係數法
三 待定係數法 要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值，都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列...
待定係數法 高中數學解題基本方法
要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值，都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使...
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要確定變數間的函式關係，設出某些未知係數，然後根據所給條件來確定這些未知係數的方法叫待定係數法，其理論依據是多項式恒等，也就是利用了多項式f x g x 的充要條件是 對於乙個任意的a值，都有f a g a 或者兩個多項式各同類項的係數對應相等。待定係數法解題的關鍵是依據已知，正確列出等式或方程。使...