中學數學的基本知識分三類：一類是純粹數的知識，如實數、代數式、方程（組）、不等式（組）、函式等；一類是關於純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等；一類是關於數形結合的知識，主要體現是解析幾何。
數形結合是乙個數學思想方法，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯絡，即以形作為手段，數為目的，比如應用函式的影象來直觀地說明函式的性質；或者是借助於數的精確性和規範嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。
恩格斯曾說過：「數學是研究現實世界的量的關係與空間形式的科學。」數形結合就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯絡，既分析其代數意義，又揭示其幾何直觀，使數量關的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。
「數」與「形」是一對矛盾，宇宙間萬物無不是「數」和「形」的矛盾的統一。華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。
數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的影象結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化。在運用數形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特徵，對數學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關係，由數思形，以形想數，做好數形轉化；第三是正確確定引數的取值範圍。
數學中的知識，有的本身就可以看作是數形的結合。如：銳角三角函式的定義是借助於直角三角形來定義的；任意角的三角函式是借助於直角座標系或單位圓來定義的。
ⅰ、再現性題組：
1. 設命題甲：0a.充分非必要條件 b.必要非充分條件 c.充要條件 d.既不充分也不必要條件
2. 若log2a. 0b>1 d. b>a>1
3. 如果|x|≤,那麼函式f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。 (89年全國文)
abc. －1d.
4. 如果奇函式f(x)在區間[3,7]上是增函式且最小值是5，那麼f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)
a.增函式且最小值為－5b.增函式且最大值為－5
c.減函式且最小值為－5d.減函式且最大值為－5
5. 設全集i＝，集合m＝，n＝，那麼等於_____。 (90年全國)
ab. c. (2,3) d. （n∈z），b＝ (m∈z)，c＝，討論是否，使得a∩b≠φ與(a,b)∈c同時成立。(85年高考)
【分析】集合a、b都是不連續的點集，「存在a、b，使得a∩b≠φ」的含意就是「存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈z)有解（a∩b時x＝n＝m）。再抓住主引數a、b，則此問題的幾何意義是：動點(a,b)在直線l：
nx＋y＝3n＋15上，且直線與圓x＋y＝144有公共點，但原點到直線l的距離≥12。
【解】 由a∩b≠φ得：na＋b＝3n＋15 ;
設動點(a,b)在直線l：nx＋y＝3n＋15上，且直線與圓x＋y＝144有公共點，
所以圓心到直線距離d＝＝3(＋)≥12
∵ n為整數 ∴ 上式不能取等號，故a、b不存在。
【注】 集合轉化為點集（即曲線），而用幾何方法進行研究。此題也屬探索性問題用數形結合法解，其中還體現了主元思想、方程思想，並體現了對有公共點問題的恰當處理方法。
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